Differenzierbare Mannigfaltigkeit

In der Mathematik sind differenzierbare Mannigfaltigkeiten ein Oberbegriff für Kurven, Flächen und andere geometrische Objekte, die – aus der Sicht der Analysis – lokal aussehen wie ein euklidischer Raum. Im Unterschied zu topologischen Mannigfaltigkeiten ist es auf differenzierbaren Mannigfaltigkeiten möglich, über Ableitungen und verwandte Konzepte zu sprechen. Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind Hauptgegenstand der Differentialgeometrie.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten spielen eine zentrale Rolle in der theoretischen Physik, insbesondere in der klassischen Mechanik bei Systemen, die Zwangsbedingungen unterliegen, und bei der Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie.

Es gibt zwei Herangehensweisen an differenzierbare Mannigfaltigkeiten: einerseits als Teilmengen eines höherdimensionalen euklidischen Raumes, die entweder durch Gleichungen oder durch Parametrisierungen beschrieben sind und im Artikel reelle Untermannigfaltigkeit behandelt werden und andererseits als abstrakte Mannigfaltigkeiten, deren differenzierbare Struktur durch einen Atlas gegeben ist. Die Äquivalenz der beiden Sichtweisen wird durch den Einbettungssatz von Whitney sichergestellt.

Definitionen

Differenzierbare Mannigfaltigkeit

Eine n-dimensionale abstrakte Mannigfaltigkeit besteht aus einem topologischen Raum M zusammen mit einem differenzierbaren Atlas, also einem System von Karten, die die lokale Struktur der Mannigfaltigkeit bestimmen.

• Eine Karte ist ein Paar (U,ϕ) bestehend aus einer (in M) offenen Teilmenge $U\subseteq M$ und einem Homöomorphismus $\phi\colon U\to\phi(U)\subseteq\R^n$. U heißt Kartengebiet.
• Ein Atlas für M ist ein System (U_i,ϕ_i)_i von Karten, für das die Mengen U_i ganz M überdecken.
• Ein Atlas heißt C^k-Atlas ($k=1,2,\ldots,\infty,\omega$), wenn die Kartenwechselabbildungen

$\phi_i\circ\phi_j^{-1}\colon\phi_j(U_i\cap U_j)\to\phi_i(U_i\cap U_j)$

für alle i,j sogar C^k-Diffeomorphismen sind.

• Eine C^k-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, zusammen mit einem C^k-Atlas.

Glatte Mannigfaltigkeit

Eine glatte Mannigfaltigkeit ist eine (abstrakte) Mannigfaltigkeit, deren Kartenwechsel beliebig oft differenzierbar sind.

Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man also Funktionen auf Glattheit untersuchen, was natürlich bei k-mal differenzierbaren Mannigfaltigkeiten nicht geht, da dort eben der Kartenwechsel nur k-mal differenzierbar ist und man deshalb jede Funktion auf der Mannigfaltigkeit nur höchstens k-mal differenzieren kann. Oftmals betrachten Differentialgeometer nur die glatten Mannigfaltigkeiten, da man für diese etwa dieselben Resultate erhält wie für die k-mal differenzierbaren. Jedoch muss man bei den glatten Mannigfaltigkeiten den Wert, wie oft man die Kartenwechsel noch differenzieren darf, nicht verwalten. Komplexe Mannigfaltigkeiten sind ebenfalls glatte Mannigfaltigkeiten, allerdings mit dem Zusatz, dass die Kartenwechsel zusätzlich konform sind.

Differenzierbare Abbildungen, Wege und Funktionen

Sind M eine m-dimensionale und N eine n-dimensionale C^k-Mannigfaltigkeit, so nennt man eine stetige Abbildung $F \colon M \to N$ eine C^k-Abbildung oder k-mal stetig differenzierbar (kurz: differenzierbar), wenn dies für ihre Kartendarstellungen (das sind dann Abbildungen von $\R^m$ nach $\R^n$) gilt.

Im Detail: Ist (U,ϕ) eine Karte von M und (V,ψ) eine Karte von N mit $F(U) \subset V$, so nennt man

$\psi \circ F \circ \phi^{-1} \colon \phi(U) \to \psi(V)$

eine Kartendarstellung von F (bezüglich der beiden Karten).

Die Abbildung F heißt nun von der Klasse C^k oder k-mal stetig differenzierbar, wenn alle Kartendarstellungen von der Klasse C^k sind. Die Differenzierbarkeit hängt dabei nicht von der Wahl der Karten ab. Dies ergibt sich daraus, dass die Kartenwechselabbildungen C^k-Diffeomorphismen sind und aus der Kettenregel. Stetigkeit von F folgt nicht aus der Differenzierbarkeit, sondern muss vorausgesetzt werden, damit die Karten so gewählt werden können, dass $F(U) \subset V$ gilt.

Die Fälle $M = \R^m$ bzw. $N = \R^n$ sind auch möglich. In diesem Fall kann dort auf die Karten verzichtet werden.

Eine differenzierbare Abbildung von einem Intervall $I \subset \R$ in eine Mannigfaltigkeit heißt Weg oder parametrisierte Kurve. Ist der Zielraum $\R$, so spricht man von einer differenzierbaren Funktion auf M.

Eine Abbildung $F \colon M \to N$ heißt lokaler C^k-Diffeomorphismus, wenn die Karten so gewählt werden können, dass die Kartendarstellungen von F Diffeomorphismen sind. Ist F außerdem bijektiv, so nennt man F einen C^k-Diffeomorphismus.

Um tatsächlich eine Ableitung für Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten definieren zu können, braucht man eine zusätzliche Struktur, den Tangentialraum. Für die Definition der Ableitung einer differenzierbaren Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten siehe Tangentialraum und Pushforward.

Eigenschaften

• Auf einer zusammenhängenden differenzierbaren Mannigfaltigkeit M operiert die Diffeomorphismengruppe transitiv, das heißt für alle $x,y \in M$ gibt es einen Diffeomorphismus $F \colon M \to M$, sodass F(x) = y gilt.
• Die Klasse der C^k-Mannigfaltigkeiten bildet zusammen mit der Klasse der C^k-Abbildungen eine Kategorie.
• Differenzierbare Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar, was für topologische Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen nicht gilt.

Untermannigfaltigkeiten

→ Hauptartikel: Untermannigfaltigkeit

Eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer m-dimensionalen Mannigfaltigkeit M (n < m) ist eine Teilmenge, die in geeigneten Karten so erscheint wie ein n-dimensionaler linearer Unterraum des $\R^m$. Diese besitzt in kanonischer Weise eine differenzierbare Struktur.

Im Detail: Eine Teilmenge N einer m-dimensionalen differenzierbaren Mannigfaltigkeit M ist eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt $p \in N$ eine Karte (U,φ) um p gibt, so dass

$\phi(N \cap U) = (\R^n \times \{0\}) \cap \phi(U).$

Dabei wird der $\R^m$ als $\R^n \times \R^{n-m}$ aufgefasst; die „0“ auf der rechten Seite ist die 0 von $\R^{n-m}$. Solche Karten heißen Schnittkarten. Diese definieren auf N auf natürliche Weise eine differenzierbare Struktur, die mit der differenzierbaren Struktur von M verträglich ist: Identifiziert man $\R^n \times \{0\}$ mit $\R^n$, so ist die Einschränkung $(U \cap N, \phi|_{U \cap N})$ der Schnittkarte (U,ϕ) auf $U \cap N$ eine Karte von N und die Menge aller so erhaltenen Karten bildet einen differenzierbaren Atlas von N.

Einbettungssatz von Whitney

Der Einbettungssatz von Whitney besagt, dass es zu jeder n-dimensionalen abstrakten differenzierbaren Mannigfaltigkeit M eine Einbettung $M\to\R^{2n}$ gibt, die M mit einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit des $\R^{2n}$ identifiziert. Die beiden Konzepte sind also äquivalent.

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. 2. Auflage. Springer, New York 2003, ISBN 0-387-95448-1. 
• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7.