Rücktransport

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik bezeichnet man als Pullback oder Rücktransport (auch: Zurückziehung, Rückzug) Konstruktionen, die ausgehend von einer Abbildung $f\colon X\to Y$ und einem Objekt E, das in irgendeiner Weise zu Y gehört, ein entsprechendes, „entlang von f zurückgezogenes“ Objekt für X liefern; es wird häufig mit f ^* E bezeichnet.

Das duale Konzept heißt meist Pushforward.

In der Kategorientheorie ist Pullback eine andere Bezeichnung für das Faserprodukt. Das duale Konzept wird hier Pushout, cokartesisches Quadrat oder Fasersumme genannt.

Der Rücktransport einer glatten Funktion

Sei $\phi : M \to N$ ein Diffeomorphismus zwischen glatten Mannigfaltigkeiten und sei $f : N \to \R$ eine glatte Funktion auf N. Dann ist der Rücktransport von f bezüglich ϕ eine glatte Funktion auf M, welche durch

$\phi^*: C^\infty(N) \to C^\infty(M)$ mit (ϕ ^* (f))(x) = f(ϕ(x))

definiert ist.

Schränkt man die Funktion f auf eine offene Teilmenge $U \subset N$ ein, so erhält man ebenso eine glatte Funktion auf $\phi^{-1}(U) \subset M$. Der Rücktransport ist also ein Morphismus zwischen den Garben der glatten Funktionen von N und M.

Faserprodukte

Hauptartikel: Faserprodukt.

Ist $\xi\colon E\to Y$ eine Abbildung, so liefert die erste Projektion des Faserproduktes $X\times_YE$ eine Abbildung mit Ziel X:

$X\times_YE\to X,\quad (x,e)\mapsto x.$

Diese Art des Pullbacks wird auch als Basiswechsel bezeichnet. Die Zurückziehung von Vektorbündeln ist ein wichtiger Spezialfall.

Man beachte, dass die kategoriell duale Konstruktion nicht Forttransport, sondern Pushout heißt.

Rücktransport von Differentialformen

Hauptartikel: Differentialform.

Sind M und N differenzierbare Mannigfaltigkeiten und $f\colon M\to N$ eine differenzierbare Abbildung, und ist ω eine k-Form auf N, so gibt es eine zurückgezogene Differentialform f ^* ω auf M, die im Fall von 1-Formen durch

$(f^*\omega)_p(X)=\omega_{f(p)}(f_{*p}X)\,$

für Tangentialvektoren $X\in T_pM$ im Punkt $p\in M$ definiert ist.

Literatur

• Otto Forster: Riemannsche Flächen. Springer, Berlin u. a. 1977, ISBN 3-540-08034-1 (Heidelberger Taschenbücher 184), (Englisch: Lectures on Riemann Surfaces. Corrected 2nd printing. ebenda 1991, ISBN 3-540-90617-7 (Graduate Texts in Mathematics 81)).
• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2003, ISBN 0-201-10168-8.