R0-Raum

In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind R₀-Räume spezielle topologische Räume, die gewisse angenehme Eigenschaften besitzen. Das R₀-Axiom ist ein Beispiel eines Trennungsaxioms.

Definition

Gegeben seien ein topologischer Raum X und zwei Punkte x und y in X. Man sagt, dass x und y getrennt sind oder getrennt werden können, wenn x und y jeweils in einer offenen Menge liegen, die den anderen Punkt nicht enthält. Weiter heißen x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, die genau einen der beiden Punkte enthält.

X heißt R₀-Raum, falls zwei beliebige topologisch unterscheidbare Punkte getrennt sind. Ein R₀-Raum wird auch symmetrischer Raum genannt.

Eigenschaften

X sei ein topologischer Raum. Folgende Aussagen sind äquivalent:

• X ist ein R₀-Raum.
• Für jedes x in X enthält der Abschluss von {x} nur die Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
• Jeder Elementarfilter zu x konvergiert nur gegen Punkte, die von x topologisch nicht unterscheidbar sind.
• Der Kolmogoroff-Quotient KQ(X) ist ein T₁-Raum.

In topologischen Räumen gilt immer folgende Implikation

getrennt ⇒ topologisch unterscheidbar

Falls diese umgekehrt werden kann, handelt es sich um einen R₀-Raum.

Beispiel

$\mathbb{Z}$ sei die Menge der ganzen Zahlen. Für $x \in \mathbb{Z}$ sei G_x definiert durch $G_x = X\setminus\{x,x+1\}$ für gerades x und $G_x = X\setminus\{x-1,x\}$ für ungerades x. Durchläuft A die endlichen Teilmengen von $\mathbb{Z}$, so bilden die Mengen $U_A = \bigcap_{x\in A} G_x$ eine Basis einer Topologie. Wir erhalten einen R₀-Raum, der kein Kolmogoroff-Raum (für ein gerades x sind x und x+1 topologisch nicht unterscheidbar) und somit auch kein T₁-Raum ist.