Basis (Topologie)

Eine Subbasis in einem topologischen Raum ist ein System von offenen Mengen, das die Topologie eindeutig beschreibt. Ist dieses System (im unten definierten Sinne) auch noch abgeschlossen bezüglich der Schnittmengenbildung, dann spricht man von einer Basis des Topologischen Raums. Eine lokale Variante ist der Begriff Umgebungsbasis, siehe dazu auch Umgebung.

Topologische Räume, die abzählbare Umgebungsbasen bzw. Basen haben, erfüllen das erste bzw. zweite Abzählbarkeitsaxiom. Sie können im topologischen Sinn als „klein“ gelten.

Definitionen

Basis einer Topologie

• Ein System B von Teilmengen eines Topologischen Raumes $(X,\mathcal{T})$ heißt Basis der Topologie, auch topologische Basis, wenn

1. jede Menge aus B offen bezüglich $\mathcal{T}$ ist und
2. jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt, wenn man definiert, dass die leere Vereinigung die leere Menge $\emptyset$ ist.

• Umgekehrt kann man ein System B von Teilmengen einer Menge X mit den Eigenschaften

1. Die Vereinigung aller Mengen aus B ist die Gesamtmenge X.
2. Jede nichtleere Schnittmenge von zwei Mengen aus B lässt sich auch als Vereinigungsmenge von Mengen aus B darstellen.

zur eindeutigen Definition einer Topologie (die durch B definierte Topologie) auf X verwenden:

Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungmenge von Mengen aus B darstellen lässt.

Subbasis einer Topologie

• Ein Mengensystem $\mathcal{S}\subseteq\mathcal{P}(X)$ von Teilmengen der Potenzmenge $\mathcal{P}(X)$

einer Grundmenge X heißt Subbasis des Topologischen Raumes $(X,\mathcal{T})$, wenn

$\tau(\mathcal{S})=\mathcal{T}$

gilt, wobei $\tau:\mathcal{S}\to \mathcal{P}(X)$ den Hüllenoperator bezeichnet, der die minimale Topologie über $\mathcal{S}$ erzeugt. Für τ gilt dann

$\tau(\mathcal{S}):= \bigcap\{\mathcal{E}\subseteq \mathcal{P}(X)|\mathcal{S}\subseteq\mathcal{E}, (X,\mathcal{E}) \, \text{ ist Topologischer Raum}\}$

Der Hüllenoperator τ ist wohldefiniert, da der Schnitt über beliebig viele Topologien wieder eine Topologie ist.

• Umgekehrt kann jedes beliebige System $\mathcal{S}$ von Teilmengen einer Menge X zur Definition einer Topologie $\mathcal{T}$ (der durch $\mathcal{S}$ definierten Topologie) auf X verwendet werden:

Eine Menge ist offen genau dann, wenn sie sich als Vereinigungsmenge von endlichen Durchschnitten aus $\mathcal{S}$ darstellen lässt, wenn man definiert, dass der leere Durchschnitt die Grundmenge X ergibt.

Umgebungsbasis

Für ein $x\in X$ heißt das System $\mathcal{U}(x,\mathcal{T})$ von Umgebungen von x Umgebungsbasis von x bezüglich des topologischen Raumes $(X,\mathcal{T})$, wenn jede offene Umgebung von x eine Umgebung aus $\mathcal{U}(x,\mathcal{T})$ als Teilmenge enthält.

Eigenschaften

• Ist $\mathcal{S}$ eine Subbasis, dann bildet die Menge aller endlichen Durchschnitte von Mengen aus $\mathcal{S}$ eine topologische Basis.
• Jede topologische Basis von $(X,\mathcal{T})$ ist eine Subbasis von $(X,\mathcal{T})$, der Basisbegriff verschärft also den Begriff Subbasis.
• Der Begriff der topologische Basis muss strikt von der Basis eines Vektorraumes getrennt werden, da sie in

topologischen Vektorräumen, also insbesondere normierten Räumen, nicht gleich sein müssen.

• In der Regel ist man zwar an möglichst kleinen Basen interessiert, es gibt aber im allgemeinen keine brauchbare formalisierte Beschreibung für eine „minimale“ topologische Basis.

So ist zum Beispiel die Menge aller offenen Mengen eine topologische Basis jeden topologischen Raumes.

• Ist für jeden Punkt x aus X des topologischen Raumes $(X,\mathcal{T})$ eine Umgebungsbasis $\mathcal{U}(x,\mathcal{T})$ gegeben, so bildet die Vereinigung all dieser Umgebungsbasen eine Basis des topologischen Raumes $(X,\mathcal{T})$.
• Eine Verschärfung hiervon: Ist D eine dichte Teilmenge des Raumes X, so bildet bereits das System der Umgebungsbasen zu den Elementen von D eine topologische Basis des Raums.

Beispiele

• Die Menge B={X} erzeugt als topologische Basis die indiskrete Topologie auf X, in der nur die leere Menge und X offen sind.
• Für das Mengensystem $\mathcal{S}:=\{\{1,2\},\{1,3\}\}$ ist die erzeugte Topologie:

$\tau(\mathcal{S})=\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,3\}, \{1,2,3\}\}$ Somit ist $\mathcal{S}$ eine Subbasis des Topologischen Raumes $(\{1,2,3\},\tau(\mathcal{S}))=(\{1,2,3\},\{\emptyset,\{1\},\{1,2\},\{1,3\}, \{1,2,3\}\})$, aber keine topologische Basis.

• Das System der einpunktigen Mengen {x} eines Raumes X definiert als topologische Basis die diskrete Topologie auf X, in der alle Teilmengen von X offen sind.
• Ist {x} offen, dann ist {{x}} Umgebungsbasis von x.
• Für eine natürliche Zahl n ist das Mengensystem $\mathcal{S}:=\{(a,b)\subseteq\mathbb{R}^n | a,b\in \mathbb{R}^n\}$ der offenen Intervalle auf $\mathbb{R}^n$ eine Basis der natürlichen Topologie auf $\mathbb{R}^n$.
• In einem metrischen Raum bildet die Menge der ε-Umgebungen eines Punktes x eine Umgebungsbasis von x, die Menge aller ε-Kugeln eine Basis der durch die Metrik induzierten Topologie.

Anwendungen

Lokale Definition der Stetigkeit

Der Begriff der Umgebungsbasis erlaubt eine bequeme Charakterisierung der Stetigkeit: Sind $(X,\mathcal{T})$ und $(Y,\mathcal{Y})$ topologische Räume und ist f eine Abbildung von X nach Y, dann ist f genau dann stetig im Punkt x aus X, wenn für Umgebungsbasen $\mathcal{U}(x,\mathcal{T})$ in X bzw. $\mathcal{U}(f(x),\mathcal{Y})$ in Y gilt:

Zu jeder Basismenge V aus $\mathcal{U}(f(x),\mathcal{Y})$ gibt es eine Basismenge U aus $\mathcal{U}(x,\mathcal{T})$, die von f ganz in V abgebildet wird.

Für den Spezialfall, in dem X und Y metrische Räume sind und als Umgebungsbasen die ε-Umgebungen gewählt werden, ist dies die „ε-δ-Definition der Stetigkeit“, die in der elementaren Analysis gegenüber der allgemeineren topologischen Definition bevorzugt wird.

Initialtopologie

Der Begriff der Subbasis erlaubt eine konstruktive Definition von Initialtopologien.

Literatur

• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9, S. 23–24 (Springer-Lehrbuch).