Rayleigh-Kriterium

Das Rayleigh-Kriterium ist eine heuristische Bedingung für den Abstand zweier Lichtquellen, um sie als getrennt erkennen zu können. Nach Lord Rayleigh ist dieser Mindestabstand gleich dem Abstand des ersten Minimums vom Zentrum des Beugungsmusters. Durch diesen Bezug ist das Kriterium nur anwendbar, sofern das Auflösungsvermögen durch Beugung begrenzt ist und das Beugungsmuster überhaupt ein Minimum aufweist. Es gibt allgemeiner anwendbare Kriterien.

Überlagerung zweier nach Rayleigh gerade noch auflösbarer Beugungsbilder

Beugung am Spalt

Falls die beugungsbegrenzte Auflösung in nur einer Richtung interessiert, wie etwa bei optischen Inkrementalgebern, ist die Beugung am Spalt zu betrachten. Für den einfarbig beleuchteten Einzelspalt etwa ergibt sich für den noch trennbaren Winkel:

$\alpha = \arcsin \left( \frac{\lambda}{d} \right) \approx \frac{\lambda}{d}$

wobei die Näherung für den Winkel (im Bogenmaß) gilt, falls die Wellenlänge λ des verwendeten Lichts viel kleiner als die Spaltbreite d ist.

Mit einer Bildweite l ergibt sich daraus folgende beobachtbare Halbwertsbreite b:

$b= l \cdot \tan(\alpha)\approx \frac{l\lambda}{d}$

Beugung an einer Blende

Für bildgebende Optiken bedeutsam ist der Fall der Beugung an einer kreisförmigen Blende, zum Beispiel der Öffnung eines Teleskops, mit Durchmesser d. Dann gilt für die Winkelentfernung des ersten Minimums

$\alpha = \arcsin \left( 1{,}22 \frac{\lambda}{d} \right) \approx 1{,}22 \, \frac{\lambda}{d}\, ,$

siehe Beugungsscheibchen.

Dieses formale Ergebnis liegt nahe an dem empirisch gefundenen Dawes-Kriterium für visuelle Beobachtungen an Doppelsternen.

Optische Mikroskopie

Bei einem Mikroskop spricht man von der Abbeschen Auflösungsgrenze, die durch die numerische Apertur NA und die Wellenlänge λ bestimmt wird. Hier wird normalerweise die Auflösung über den kleinsten Abstand (nicht wie oben über Winkel) zweier (Punkt-)Objekte beschrieben. Wie oben beschrieben sind nach Rayleigh zwei (Punkt-)Objekte mit dem Abstand a gerade dann noch auflösbar, wenn das Beugungsscheibchen des ersten Objekts auf das erste Minimum des Beugungsscheibchen des zweiten Objekts fällt. Mathematisch führt das zu:

$a=\frac{1{,}22\lambda}{2\cdot \text{NA}}=\frac{0{,}61\cdot\lambda}{n\sin\theta}$.^[1]

Der Faktor 2 kommt daher, dass sich hier NA bzw. θ im Gegensatz zu d in obigen Gleichungen auf den halben Durchmesser des Objektivs beziehen.

Einzelnachweise

1. ↑ Eugene Hecht: Optik. Oldenbourg 2009, ISBN 978-3486588613