Reduzierte Masse

Wenn sich zwei Körper mit Massen m₁ und m₂ unter dem Einfluss einer verschwindenden Gesamtkraft bewegen, so lassen sich die Bewegungsgleichungen in die freie Bewegung des Schwerpunktes und das Ein-Körper-Problem der Relativbewegung aufspalten. Dabei bewegt sich der relative Abstand wie ein Teilchen, das die reduzierte Masse m hat,

$m=\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\ ,\quad \frac{1}{m} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}\ .$

Je nach Masse $m_1\ge m_2$ des schwereren Körpers hat die reduzierte Masse Werte zwischen m₂ / 2 und m₂. In wichtigen Fällen (Planetenbewegung, Bewegung eines Elektrons im Coulomb-Feld des Atomkerns) unterscheiden sich die Massen des schwereren und des leichteren Körpers um mehrere Größenordnungen. Dann ist die reduzierte Masse fast die Masse des leichteren Teilchens,

$m = \frac{m_2}{1+m_2/m_1} \approx m_2 \left(1- \frac{m_2}{m_1}\right) \approx m_\mathrm 2\ .$

In vielen Lehrbüchern wird die reduzierte Masse mit dem griechischen Buchstaben µ abgekürzt.

Herleitung

Bei verschwindender Gesamtkraft lauten die Bewegungsgleichungen für die Orte $\vec{r}_1$ und $\vec{r}_2$ der beiden Körper

$m_1 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_1}{\mathrm{d}t^2}=\vec{F}\ ,\quad m_2 \frac{\mathrm{d}^2\vec{r}_2}{\mathrm{d}t^2}=-\vec{F}\ .$

Summiert man beide Gleichungen, so erhält man für den Schwerpunkt

$\vec{R}=\frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2}{M}\ ,\quad M = m_1+m_2\ ,$

die Bewegungsgleichung

$M\,\ddot{\vec{R}} = 0$

eines freien Teilchens. Also bewegt sich der Schwerpunkt gradlinig, gleichförmig,

$\vec{R}(t)=\vec{R}(0)+t\,\vec{v}(0)\ .$

Teilt man die Bewegungsgleichung der Teilchen durch die Massen und nimmt die Differenz, erhält man für den Abstand $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$ die Bewegungsgleichung

$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} (\vec{r}_1-\vec{r}_2)= \left(\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}\right) \vec{F} = \frac{1}{m}\vec{F}\ ,\quad m\,\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t^2}= \vec{F}\ .$

Er bewegt sich also wie ein Teilchen der reduzierten Masse m unter Einfluss der Kraft $\vec{F}\,$.