Schwerpunkt

Dieser Artikel wurde den Mitarbeitern der Redaktion Physik zur Qualitätssicherung aufgetragen. Wenn Du Dich mit dem Thema auskennst, bist Du herzlich eingeladen, Dich an der Prüfung und möglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen. Der Meinungsaustausch darüber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite, sondern auf der Qualitätssicherungs-Seite der Physik statt.

In der Physik bezeichnet der Schwerpunkt eines Körpers das Zentrum, in dem ein homogenes Schwerefeld auf ihn wirkt. Der Begriff wird synonym zum Massenmittelpunkt verwendet, der sich aus dem nach der Masse gewichteten Mittel der Positionen der Massepunkte des Körpers ergibt. Für viele Anwendungen lässt sich die gesamte Masse als an diesem Punkt konzentriert betrachten.

Im Schwerpunkt angreifende externe Kräfte können den Rotationszustand des Objekts nicht verändern, da sie wegen des im Schwerpunkt fehlenden Hebelarms kein zusätzliches Drehmoment ausüben können.

Ist die Dichte des Körpers homogen, so stimmt diese Definition mit dem Flächenschwerpunkt bzw. Volumenschwerpunkt überein, die in der Mathematik vereinfacht als Schwerpunkt bezeichnet werden.

Ist andererseits das Schwerfeld nicht homogen, wie zum Beispiel für einen Asteroiden, der an einem Planeten vorbeifliegt, so stimmt das Zentrum der Schwerkraft im allgemeinen nicht mehr mit dem Massenmittelpunkt überein, sondern wird als Gravizentrum bezeichnet. Es ist dann auch nicht alleine eine Eigenschaft des Körpers: das Mittel wird dann über die Gravitationskraft gewichtet und somit auch vom Gravitationsfeld abhängig. Der Begriff Schwerpunkt wird in diesem Zusammenhang uneinheitlich verwendet, und kann sowohl den Massenmittelpunkt, als auch das Gravizentrum bedeuten.

Umgangssprachlich bezeichnet Schwerpunkt den wichtigsten Punkt, wie in Themenschwerpunkt, "Schwerpunkte setzen", Schwerpunktfach oder Schwerpunktmedizin.

Berechnung

Der Massenmittelpunkt $\vec r_s$ ist das nach der Masse gewichtete Mittel der Ortsvektoren $\vec r$ aller Massepunkte dm eines Körpers:

$\vec r_s = \frac 1 M \int {\vec r \ dm} = \frac{1}{M} \int {\vec r\, \rho(\vec r) \, dV}$

Dabei ist $\rho(\vec r)$ die Dichte am Ort $\vec r$ und dV ein Volumenelement. Der Nenner dieser Gleichungen ist die Gesamtmasse M.

Bei einem homogenen Körper kann die Dichte ρ herausgekürzt werden, der Massenmittelpunkt fällt dann mit dem Volumenmittelpunkt (dem geometrischen Schwerpunkt) zusammen. In vielen Fällen kann die Berechnung dann vereinfacht werden, beispielsweise wenn der Volumenmittelpunkt auf den Symmetrieachsen eines Körpers liegt, bei einer Kugel zum Beispiel im Mittelpunkt.

Bei diskreten Systemen kann das Volumenintegral durch eine Summe über die Ortsvektoren $\vec r_i$ aller Massepunkte ersetzt werden:

$\vec r_s = \frac{1}{M}\sum_i \vec r_i \cdot m_i$

wobei M die Summe aller Einzelmassen m_i ist:

$\!\,M=\sum_i m_i$

Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.

Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als einen Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt nahezu mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld für verschiedene Teile des Körpers merklich verschieden sein. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenmittelpunkt und damit näherungsweise auch sein Schwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenmittelpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Massenmittelpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).

Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments (oder der Schnittpunkt der drei (Massen-)Trägheitsachsen), fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen. Liegt beispielsweise ein (homogener) Ziegelstein auf einem Tisch, so ist dessen untere Hälfte etwas dichter am Erdmittelpunkt als die obere Hälfte, weshalb die unterschiedlich starke Gravitation dazu führt, dass der (Gravitations-)Schwerpunkt ein wenig näher am Erdmittelpunkt („unten“) liegt als der Massenmittelpunkt bzw. Trägheitsschwerpunkt.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet. Siehe auch: Mehrkörper-System

Bei alldem muss man sich darüber im Klaren sein, dass der Schwerpunkt eines Körpers nicht unbedingt im Inneren des Körpers liegen muss. Das gilt natürlich für Körper mit Hohlräumen, kann aber auch ganz allgemein für beliebige nichtkonvexe Körper gelten. Beispiele dafür sind der Torus, ein mondsichelförmiger Bogen oder so triviale Alltagsgegenstände wie eine Tasse oder eine Schale.

Bestimmung des Schwerpunktes

Der Schwerpunkt liegt unter dem Aufhängepunkt auf der „Schwerlinie“.

Bestimmung des Schwerpunkts als Schnittpunkt der „Schwerlinien“.

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur annähernden Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen starren Körpers, wobei die Näherung darin besteht, die Abweichungen von Schwerpunkt und Massenmittelpunkt und damit auch die Veränderungen der Lage des Schwerpunktes bei Drehung des Körpers (verbunden mit Gravitationskraftänderungen in den einzelnen Körperregionen) unberücksichtigt zu lassen: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der (näherungsweise) Schwerpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts).

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man den (näherungsweisen) Schwerpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben lässt.

Verblüffend ist die folgende Methode, um den Schwerpunkt eines schmalen und länglichen Gegenstandes (z. B. Lineal oder Besen) zu bestimmen: Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit voneinander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf den Finger, der dem Schwerpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt, d. h. der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Schwerpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. (Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes.)

Massen- und Auftriebsschwerpunkt bei einem Flugzeug.

Auftriebsschwerpunkt

Bei Luft- und Wasserfahrzeugen wird als Auftriebsschwerpunkt (engl. Center of Lift) jener Punkt bezeichnet, an dem die Auftriebskräfte, die das Fahrzeug entgegen der Schwerkraft erheben, angreifen. In diesem Kontext wird der (Ruhe-) Schwerpunkt auch zur Abgrenzung als Massenschwerpunkt bezeichnet. Der Abstand zwischen diesen beiden Punkten beeinflusst das dynamische Verhalten eines Fahrzeugs i. A. wesentlich bzw. es unterscheiden sich die grundlegenden Bauweisen in diesem Aspekt.

• Bei einem Wasserfahrzeug ist die Stabilität beim Übergang in das Gleiten relevant: Das Boot darf dabei durch den Bodeneffekt und einen ggf. weit vorn liegenden Auftriebsschwerpunkt nicht einseitig vorn angehoben werden, da es sich sonst nach hinten überschlagen kann.
• Bei einem Flugzeug ist das Verhalten bei einem Strömungsabriss wichtig: Durch den vor dem Auftriebsschwerpunkt liegenden Massenschwerpunkt kippt es nach dem Abriss nach vorn und wird so, bei ausreichender Flughöhe, wieder beschleunigt und damit steuerbar. Segelflugzeuge werden etwa durch einen Ballast leicht kopflastig getrimmt. Bei Frachtflugzeugen ist die zulässige Lage des Massenschwerpunktes durch den Lademeister zu planen.

Der Nachteil dieser Auslegung ist, dass der vor dem Auftriebsschwerpunkt liegende Massenschwerpunkt durch einen Abtrieb am Höhenleitwerk ausgeglichen werden muss, welcher wiederum durch einen höheren Auftrieb am Flügel kompensiert wird. Daraus ergibt sich jedoch ein höherer Luftwiderstand und damit Treibstoffverbrauch.

• Bei einem Hubschrauber liegt der Massenschwerpunkt stets unter der Rotorebene, welche den Auftriebsschwerpunkt bildet. Bei Senkrechtstartern ist dieses Verhältnis umgekehrt, wenn diese mit der Spitze nach oben starten und die Trimmung wie bei Flugzeugen beschrieben ausgelegt ist. Das Manövrieren im Schwebeflug wird dadurch jedoch erschwert. Bei Quadrocopter-Drohnen wiederum liegen die beiden Punkte teils auf einer Höhe.
  

Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, berechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft (an Modellen) angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

Beispiele geometrischer Flächen

Ebene Flächen

Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine so genannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerelinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls in diesem Schwerpunkt.

Dreieck	$y_s=\frac{h_b}{3},x_s=\frac{b+\xi}{3}$, Der Schwerpunkt S eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Man nennt sie daher auch Schwerelinien. Im Allgemeinen berechnet sich der Schwerpunkt in kartesischen Koordinaten: $S = \frac13(A+B+C) = \left(\frac13 (x_A+x_B+x_C),\;\; \frac13(y_A+y_B+y_C)\right).$ Ausgedrückt durch Trilineare Koordinaten: $\frac{1}{a} \, : \, \frac{1}{b} \, : \, \frac{1}{c}$ $= \, bc \, : \, ca \, : \, ab$ $= \, \csc\alpha \, : \, \csc\beta \, : \, \csc\gamma$ Ausgedrückt durch Baryzentrische Koordinaten:$1 \, : \, 1 \, : \, 1$
Trapez	Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet (gemessen vom linken unteren Eckpunkt): $y_s=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2b}{a+b}, \ \ x_s=\frac{a^2-b^2+\xi(a+2b)}{3(a+b)}$
Polygon	Der Schwerpunkt eines nicht überschlagenen, geschlossenen, auch unregelmäßigen Polygons mit N Eckpunkten kann wie folgt aus den kartesischen Koordinaten (xi , yi) der Eckpunkte berechnet werden (der nullte Eckpunkt (x0 , y0) und der N-te Eckpunkt (xN , yN) sind hierbei identisch):[1] Die Fläche des Polygons ist: $A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$ Der Flächenschwerpunkt des Polygons ist: $C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$ $C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$
Halbkreisfläche	$y_s=\frac{4r}{3\pi}$
Kreisausschnitt	$y_s=\frac{2r\sin\alpha}{3\alpha}=\frac{2rl}{3b}$     (mit α in Bogenmaß) $y_s=\frac{2 \cdot 180^\circ r\sin\alpha}{3\pi\alpha}=\frac{2rl}{3b}$     (mit α als Winkelmaß)

Räumliche (gekrümmte) Begrenzungsflächen

• Pyramide und Kegel:

Flächenschwerpunkt (Hohlkörper):

Volumenschwerpunkt (Vollkörper): $z_s=\frac{h}{4}$

• Volumenschwerpunkt eines massiven Rotationsparaboloids:

der Flächenschwerpunkt eines Rotationsparaboloids (umgestülptes Sektglas) liegt zwischen $y_s=\frac{h}{2}$ (h klein) und $y_s=\frac{2h}{5}$ (h groß).

• Kugelsegment (Orientierung wie Paraboloid, $\quad h\le2r)$:

Der Volumenschwerpunkt (Vollkörper) beläuft sich auf: $y_s=\frac{4r-h}{4(3r-h)}\cdot h,$

der Flächenschwerpunkt (Schale) beträgt: $y_s=\frac{h}{2} .$

Schwerpunkt einer Linie

beliebiger flacher Bogen:	$z_s\approx\frac{2h}3$
Kreisbogen:	$y_s=\frac{r\sin\alpha}{\alpha}=\frac{rl}{b}$ (mit α in Bogenmaß) $y_s=\frac{180^\circ r\sin\alpha}{\pi\alpha}=\frac{rl}{b}$(mit α als Winkelmaß)

Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper

Zusammenfassen von Schwerpunkten

Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner einfacher Elemente zu einem gemeinsamen Schwerpunkt zusammenzufassen.

1-dimensional	2-dimensional	3-dimensional	allgemein
$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot l_i)}{\sum\limits_i l_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $z_s=\frac{\sum\limits_i (z_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$	$\vec{r}_s=\frac{\sum\limits_i (\vec{r}_{s,i} \cdot m_i)}{\sum\limits_i m_i}$

Der Abstand x_s (bzw. y_s, z_s) ist jener von einem frei wählbaren Koordinatenursprung. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden, jedoch muss beachtet werden, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung mit eingehen.

Schwerpunkt von Flächen und Körpern, deren Begrenzung durch den Graphen einer Funktion gegeben ist

In den vorherigen Abschnitten wurden ausschließlich Flächen und Körper behandelt, deren Gestalt bestimmten geometrischen Grundformen entspricht. Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist und die Begrenzung von Körpern bzw. Flächen durch Graphen von Funktionen gegeben sind, so kommt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten die Integralrechnung zur Anwendung.

Dann gilt:

2-dimensional	3-dimensional
$x_s=\frac{1}{A}\int_A x \mathrm dA$ $y_s=\frac{1}{A}\int_A y \mathrm dA$	$x_s=\frac{1}{V}\int_V x \mathrm dV$ $y_s=\frac{1}{V}\int_V y \mathrm dV$ $z_s=\frac{1}{V}\int_V z \mathrm dV$

Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man dA mit $y\cdot \mathrm dx$, was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei y der die Fläche begrenzenden Funktion y(x).

Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im 2-dimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:

• entweder man bildet Umkehrfunktion x(y) und berechnet das Integral $\textstyle \int_A y \mathrm dA = \int_y y\cdot x(y) \ \mathrm dy$ , wobei die „neuen“ Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind.
• oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen $\tfrac{y(x)}{2}$ ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der Umkehrfunktion erspart bleibt:

$y_s=\frac{1}{A}\int_A y \mathrm dA = \frac{1}{A}\int_x y\cdot\frac{y}{2}\ \mathrm dx$

Beispiel: Schwerpunkt einer Parabel

Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel y₁ = x² − 4 und durch die x-Achse definiert ist.

Zuerst bestimmen wir den Inhalt A der Fläche

$A = \int\limits_{-2}^2 (x^2-4)\,\mathrm dx = -\frac{32}3$

Die Grenzen des Integrals sind bei Begrenzung der Fläche durch die x-Achse die Nullstellen der Funktion.

Die x-Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu

$x_s = \frac 1A\int\limits_{-2}^2 x\cdot (x^2-4)\,\mathrm dx = 0.$

Die y-Koordinate ergibt sich zu

$y_s = \frac 1{2A}\int\limits_{-2}^2 y^2\,\mathrm dx= \frac 1{2A}\int\limits_{-2}^2 (x^4-8x^2+16)\,\mathrm dx= -1{,}6.$

Eine andere Möglichkeit die Schwerpunktskoordinaten zu errechnen ergibt sich durch die Formeln :

$x_s = \frac{\int_{a}^{b}(x(f(x)-g(x)))dx}{\int_{a}^{b}((f(x)-g(x)))dx}$

$y_s= \frac{\int_{a}^{b}((f(x))^{2}-(g(x))^{2}) dx}{\int_{a}^{b}(2 (f(x))-(g(x) )dx}$

Wobei die Grenzen a und b die Schnittpunkte der Funktionen f(x) und g(x) darstellen. Durch diese Formel lässt sich der Schwerpunkt einer beliebigen Fläche, welche zwischen zwei Funktionen eingeschlossen ist, berechnen.

Bedingungen hierfür sind a < x < b , g(x) < y < f(x)

Einzelnachweise

1. ↑ Calculating the area and centroid of a polygon

Weblinks

 Wiktionary: Schwerpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt
• Flash-Animation zur Schwerpunkt-Konstruktion beim Dreieck (dwu-Unterrichtsmaterialien)