- Reidsche Ungleichung
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Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.
Formulierung
Seien H ein Hilbertraum und A,B stetige lineare Operatoren auf H, so dass gilt:
- A ist ein positiver Operator, das heißt für alle
- AB ist selbstadjungiert, das heißt für alle .
Dann gilt für alle .
Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform auf H.
Anwendung
- Sind die positiven Operatoren A und B vertauschbar, das heißt AB = BA, so ist auch AB positiv.
Zum Beweis sei I der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist . Dann ist auch und daher . Da A auch mit I − B vertauscht, ist A(I − B) selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert . Also ist , das heißt .
Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von A und B erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum X ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen wieder eine solche Funktion ist.
Quellen
- W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41-56, (1951)
- Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975
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