Reidsche Ungleichung

Reidsche Ungleichung

Die reidsche Ungleichung ist eine mathematische Ungleichung aus dem Bereich der Operatorentheorie auf Hilberträumen. Sie wurde 1951 von William Thomas Reid bewiesen.

Formulierung

Seien H ein Hilbertraum und A,B stetige lineare Operatoren auf H, so dass gilt:

Dann gilt |\langle ABx,x\rangle| \le \|B\|\langle Ax,x\rangle für alle x\in H.

Der Beweis kann mit elementaren Mitteln geführt werden, das heißt ohne Spektraltheorie oder Funktionalkalkül. Im Wesentlichen handelt es sich um eine geschickte Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die positiv semidefinite Sesquilinearform (x,y)\to \langle Ax,y\rangle auf H.

Anwendung

  • Sind die positiven Operatoren A und B vertauschbar, das heißt AB = BA, so ist auch AB positiv.

Zum Beweis sei I der identische Operator auf dem zu Grunde liegenden Hilbertraum. Ohne Einschränkung ist \|B\| \le 1. Dann ist auch 0 \le I-B \le 1 und daher \|I-B\|\le 1. Da A auch mit IB vertauscht, ist A(IB) selbstadjungiert, und die reidsche Ungleichung liefert \langle A(I-B)x,x\rangle \le \|I-B\| \langle Ax,x\rangle \le \langle Ax,x\rangle. Also ist A-AB = A(I-B)\le A, das heißt AB \ge 0.

Die Beweisführung dieses wichtigen Resultats mit Hilfe der reidschen Ungleichung erfordert nur elementare Hilfsmittel. Mit fortgeschrittener Theorie kann man dieses Ergebnis ebenso schnell erhalten. Dann betrachtet man die von A und B erzeugte C*-Algebra, die, da kommutativ, nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra stetiger Funktionen auf einem lokalkompakten Hausdorffraum X ist, und obige Anwendung reduziert sich auf die Tatsache, dass das Produkt zweier stetiger Funktionen X\mapsto \R_0^+ wieder eine solche Funktion ist.

Quellen

  • W. T. Reid: Symmetrizable completely continuous linear transformations in Hilbert space, Duke Mathematical Journal, Band 18, Seiten 41-56, (1951)
  • Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag, 1975

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