Selbstadjungierter Operator

Ein selbstadjungierter Operator ist ein linearer Operator mit besonderen Eigenschaften. Operatoren und insbesondere selbstadjungierte Operatoren werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Der selbstadjungierte Operator ist eine Verallgemeinerung der selbstadjungierten Matrix.

Definition

Sei $(H,\langle.,.\rangle)$ ein Hilbertraum bestehend aus dem Vektorraum H und dem Skalarprodukt $\langle \cdot, \cdot\rangle$ und sei $T \colon D(T) \to H$ ein dicht definierter Operator. Ein dicht definierter Operator $S : D(S) \to H$ heißt dann adjungiert zu T, falls

$\langle T y ,x\rangle = \langle y , S x \rangle$

für alle $x, \, y \in D(T)$ gilt. Mit D(T) und D(S) werden die Definitionsbereiche der Operatoren T und S bezeichnet. Den adjungierten Operator notiert man meisten mit einem ^* , man setzt also T ^* : = S.

Ein Operator T heißt nun selbstadjungiert, wenn T = T ^* gilt, also der Operator T mit seinem adjungierten Operator T ^* übereinstimmt.

Geschichte

John von Neumann, der 1929 die Theorie der unbeschränkten Operatoren begründete war auch der erste, der die Notwendigkeit erkannte, zwischen symmetrischen und selbstadjungierten Operatoren zu unterscheiden. Denn nur für die letzteren kann eine Spektralzerlegung, wie sie im letzten Abschnitt dieses Artikels beschreiben wird, gezeigt werden. Von Neumann nannte symmetrische Operatoren hermitesch. Er stellte fest, dass es unter anderem für die Spektralzerlegung wichtig sei, dass ein Operator keine symmetrische Erweiterung zulässt und nannte dieser Klasse von Operatoren maximal hermitesch. Jedoch ist diese Forderung für den Spektralsatz, der selbstadjungierte Operatoren voraussetzt, noch nicht hinreichend. Von Neumann nannte auf Anregung Erhard Schmidts selbstadjungierte Operatoren hypermaximal. Der Begriff selbstadjungierter Operator wurde von Marshall Harvey Stone geprägt.^[1]

Verwandte Objekte

Selbstadjungierte Matrix

→ Hauptartikel: Selbstadjungierte Matrix

Sei $\mathbb{K} \in \{\R, \C\}$ der reelle oder komplexe Zahlenkörper und sei $\langle . , . \rangle$ ein Skalarprodukt auf $\mathbb{K}^n,$ dann ist $(\mathbb{K}^n , \langle . , . \rangle)$ ein Hilbertraum. Eine Matrix A heißt selbstadjungiert, wenn

$\langle Ay , x \rangle = \langle y , Ax \rangle$

für alle $x , y \in \mathbb{K}^n$ gilt. Die Matrix A wird hier als lineare Abbildung auf dem $\mathbb{K}^n$ aufgefasst. Da A zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen abbildet, ist A beschränkt daher stetig und somit auch dicht definiert. Also ist eine selbstadjungierte Matrix auch ein selbstadjungierter Operator. Betrachtet man den $\R^n$ mit seinem Standardskalarprodukt, so entsprechen die symmetrischen Matrizen den selbstadjungierten. Im Fall des $\C^n$ mit dem entsprechenden kanonischen Skalarprodukt sind die hermiteschen Matrizen die selbstadjungierten.

Symmetrischer Operator

→ Hauptartikel: Symmetrischer Operator

Ein Operator $T : D(T) \to H$ heißt symmetrisch, falls

$\langle T y ,x\rangle = \langle y , T x \rangle$

für alle $x, \, y \in D(T)$ gilt. Im Gegensatz zum selbstadjungierten Operator wird hier nicht gefordert, dass der Operator T dicht definiert sein muss. Jeder selbstadjungierte Operator ist symmetrisch, aber nicht jeder symmetrische Operator selbstadjungiert. Jeder beschränkte Operator ist jedoch dicht definiert. Daher sind symmetrische, nicht selbstadjungierte Operatoren immer unbeschränkt. Außerdem besagt der Satz von Hellinger-Toeplitz, dass jeder symmetrische Operator, der auf ganz H definiert ist, stetig und damit selbstadjungiert ist.

Wesentlich selbstadjungierter Operator

Ein Operator $T : D(T) \to H$ heißt wesentlich selbstadjungiert, falls T symmetrisch, dicht definiert und seine Abschließung selbstadjungiert ist. Einen wesentlich selbstadjungierten Operator kann man also immer zu einem selbstadjungierten Operator fortsetzen.

Beispiele

Symmetrische Matrix

→ Hauptartikel: Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix $A \in \R^{n \times n}$ kann als Operator $A : \R^n \to \R^n$ verstanden werden. Bezüglich des Standardskalarproduktes ist jede symmetrische Matrix eine selbstadjungierte Matrix beziehungsweise ein selbstadjungierter Operator.

Der Operator -i d / dx

Ist ein Operator beschränkt, so sind die Begriffe symmetrischer Operator, wesentlich selbstadjungierter Operator und selbstadjungierter Operator wie erwähnt äquivalent. Bei unbeschränkten Operatoren impliziert zwar die Selbstadjungiertheit die Symmetrie, aber die Umkehrung gilt nicht. Ein Gegenbeispiel gibt das folgende Paar:

1. Im Folgenden wird der Hilbertraum $C^\infty(]0,1[) \cap L^2(]0,1[)$ und der Differentialoperator $p_1 :=-{\rm i}\,\tfrac{{\rm d}}{{\rm d} x}$ mit den dirichletschen Randbedingungen ψ(0) = ψ(1) = 0 betrachtet.
2. Und dessen Erweiterung p₂, bei der man nur „Periodizität“ fordert, $\psi (1) = \psi (0) \ne 0$.

Aus der Gleichungskette

$\langle u, p_iv \rangle_{L^2} - \langle p_iu,v \rangle_{L^2} = \int_0^1 \overline{u(x)}\cdot p_i v(x)-\overline{ p_i u(x)} \cdot v(x) \mathrm{d}x =-{\rm i}\cdot \left( \overline u(1)\cdot v(1)-\overline u(0)\cdot v(0)\right) = 0$

folgt, dass die Operatoren p_i für $i \in \{1,2\}$ symmetrisch sind. Jedoch ist nur der Operator p₂ selbstadjungiert, denn im ersten Fall wird der Definitionsbereich unnötig eingeschränkt.

Laplace-Operator

→ Hauptartikel: Laplace-Operator

Der Laplace-Operator $\Delta : D(\Delta) \to L^2(\R^n)$ ist ein unbeschränkter Operator. Er ist bezüglich des L²-Skalarproduktes selbstadjungiert. Das heißt er ist symmetrisch bezüglich diesem Skalarproduks, was

$\int_{\R^n} \Delta f(x) g(x) \mathrm{d} x = \int_{\R^n} f(x) \Delta g(x) \mathrm{d} x$

für alle $f, \, g \in D(\Delta)$ bedeutet, und ist dicht definiert. Die Ableitung ist hier im schwachen Sinn zu verstehen. Somit gilt für den Definitionsbereich

$D(\Delta) = \{u \in L^2(\R^n): \Delta u \in L^2(\R^n) \}.$

Dies entspricht dem Sobolew-Raum $H^2(\R^n)$ der quadratintegierbaren und zwei mal schwach differenzierbaren Funktionen, dieser liegt dicht in $L^2(\R^n)$. Die Symmetrie des Laplace-Operators folgt aus der greenschen Formel.

Multiplikationsoperator

Sei (Ω,Σ,μ) ein Maßraum und $f : \Omega \to \R$ eine messbare Funktion. Der Multiplikationsoperator $M_f \colon D(M_f) \to L^2(\mu)$ mit $D(M_f) = \{x \in L^2(\mu): f \cdot x \in L^2(\mu)\} \subset L^2(\mu)$ ist definiert durch

$x \mapsto M_f x := f \cdot x.$

Dieser Operator ist unbeschränkt und dicht definiert, denn für $\Omega_n := \{\omega \in \Omega: |f(\omega)| \leq n\}$ enthält D(M_f) alle L²-Klassen, die außerhalb von Ω_n verschwinden und wegen $\textstyle \Omega = \bigcup_{n} \Omega_n$ ist $D(M_f) \subset L^2(\mu)$ dicht. Außerdem ist M_f bezüglich des L²-Skalarproduktes symmetrisch. Der Operator ist auch selbstadjungiert. Da für einen symmetrischen Operator nämlich $M_f \subset M_f^*$ gilt, was $D(M_f) \subset D(M_f^*)$ und $M_f^*|_{D(M_f)} = M_f$ bedeutet, muss für die Selbstadjungiertheit nur noch $D(M_f^*) \subset D(M_f)$ gezeigt werden. Sei χ_n die charakteristische Funktion von Ω_n, für $z \in D(M_f)$ und $x \in D(M_f^*)$ gilt

$\langle z , \chi_n M_f^* x \rangle_{L^2} = \langle \chi_n z , M_f^*x\rangle_{L^2} = \langle M_f(\chi_n z), x\rangle_{L^2} = \langle f \chi_n z, x \rangle_{L^2}.$

Das heißt $\chi_n M_f^* x = \chi_n f x$ gilt fast überall. Da $\chi_n \to 1$ punktweise konvergiert, gilt $M_f^* x = fx$ fast überall. Da nun $M_f^* x = f x$ in L² liegt ist $x \in D(M_f)$, was $D(M_f) = D(M_f^*)$ zeigt und somit die Selbstadjungiertheit beweist.

Eigenschaften

Sei T ein dicht definierter Operator auf dem Hilbertraum $(H,\langle.,.\rangle),$

• dann ist T ^* T ein selbstadjungierter Operator mit $\langle T x, x\rangle \geq 0.$

Sei T ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum $(H,\langle.,.\rangle).$

• Für das Spektrum σ(T) von T gilt $\sigma(T) \subset \R.$ Es gibt also keine Spektralwerte, die echte komplexe Zahlen sind. Insbesondere hat eine selbstadjungierte Matrix nur reelle Spektral- beziehungsweise Eigenwerte.
• Ein Operator T ist positiv, das heißt es gilt $\langle T x, x\rangle \geq 0$ für alle $x \in D(T)$ genau dann, wenn für das Spektrum σ(T) die Inklusion $\sigma(T) \subset [0,\infty]$ gilt.
• Falls $\langle T x, x\rangle \geq 0$ gilt, so existiert ein selbstadjungierter Operator B mit $\langle B x, x\rangle \geq 0,$ so dass $B \circ B = T$ gilt.

Friedrichssche Erweiterung

→ Hauptartikel: Friedrichssche Erweiterung

Sei $(H , \langle , \rangle_H)$ ein Hilbertraum und $T \colon D(T) \to H$ ein dicht definierter halbbeschränkter Operator. Halbbeschränkt bedeutet, dass der Operator entweder die Ungleichung $\langle Tx,x\rangle_H \geq C\|x\|^2_H$ oder die Ungleichung $\langle Tx,x\rangle_H \leq C\|x\|^2_H$ für ein $C \in \R$ und für alle $x \in D(T)$ erfüllt. Dann existiert zu T eine selbstadjungierte Erweiterung von T, die derselben Abschätzung genügt.

Zu beachten ist, dass bei einem hablbeschränkten Operator T der Ausdruck $\langle Tx,x\rangle_H$ reellwertig sein muss, da sonst die sonst die Ordnungsrelationen $\geq$ und $\leq$ nicht definiert ist und Operatoren für die $\langle Tx,x\rangle_H \in \R$ für alle $x \in H$ gilt sind symmetrisch.

Sei $T \colon D(A) \to H$ ein abgeschlossener und dicht definierter Operator. Dann lässt sich aus der Friedrichsschen Erweiterung folgern, dass $T^*T \colon \{ x \in D(T): Tx \in D(T^*)\} \to H$ dicht definiert und selbstadjungiert ist.

Spektralsatz für unbeschränkte Operatoren

Spektralzerlegung

→ Hauptartikel: Spektralsatz

Sei $(H,\langle.,.\rangle_H)$ ein Hilbertraum und Σ die borelsche σ-Algebra. Für jeden selbstadjungierten Operator $T : D(T) \to H$ existiert ein eindeutiges Spektralmaß $E \colon \Sigma \to L(H,H)$, so dass

$\langle Tx, y\rangle_H = \int_\R t\, \mathrm{d} \langle E_t \, x,y\rangle_H$

mit $x \in D(T)$ und $y \in H$ gilt. Diese Aussage ist der Spektralsatz für unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren. Fordert man, dass die Operatoren beschränkt und selbstadjungiert oder kompakt und selbstadjungiert sind so vereinfacht sich das Resultat. Das wird im Artikel Spektralsatz näher erläutert.

Multiplikationsoperator

Sei H ebenfalls wieder ein Hilbertraum und sei $T \colon H \subset D(T) \to H$ ein selbstadjungierter Operator. Dann existiert ein (im separablen Fall ein σ-endlicher) Maßraum (Ω,Σ,μ), eine messbare Funktion $f \colon \Omega \to \R$ sowie ein unitärer Operator $U \colon H \to L^2(\mu)$ mit

1. $x \in D(T) \Leftrightarrow f \cdot U x \in L^2(\mu)$ und
2. $U T U^* \phi = f \cdot \phi$ für $\phi \in \{\phi \in L^2(\mu): f\cdot \phi \in L^2(\mu)\}$.

Im Wesentlichen ist also der Multiplikationsoperator $\phi \mapsto f \cdot \phi$ das einzige Beispiel eines selbstadjungierten Operators.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag. Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. S. 342 ff.
• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991. ISBN 0070542368. Kap. 13

Einzelnachweise

1. ↑ Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, Kapitel VII.6