Hilbertraum

Ein Hilbertraum (auch Hilbert-Raum), benannt nach dem Mathematiker David Hilbert, ist ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt.

Er ist ein Spezialfall eines Prähilbertraums, das heißt ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit einem Skalarprodukt. Das Skalarprodukt induziert eine Norm und dadurch eine Metrik.

Definition

Ein Prähilbertraum, der vollständig bezüglich der durch das Skalarprodukt induzierten Metrik ist, in dem also jede Cauchy-Folge konvergiert, heißt Hilbertraum. Insbesondere können Hilberträume auch unendlichdimensional sein.

Notation

In diesem Artikel werden Variablen für Vektoren nicht gesondert gekennzeichnet, es werden also gewöhnliche kursive Kleinbuchstaben verwendet: $u\,$, $v\,$, $w\,$, $x\,$, $y\,$. Das Skalarprodukt von $u\,$ und $v\,$ wird mit $\langle u, v \rangle$ bezeichnet. Im komplexen Fall wird vorausgesetzt, dass bzgl. eines der Argumente des Skalarprodukts, etwa des zweiten, Linearität und bzgl. des anderen Semilinearität gilt:

$\lambda \langle u,v \rangle\ = \langle u, \lambda v \rangle = \langle \bar\lambda u, v \rangle \,.$

Bedeutung

Der hohe Grad an mathematischer Struktur in Hilberträumen vereinfacht die Analysis ungemein, und so spielen sie in der Funktionalanalysis, speziell in der Lösungstheorie partieller Differentialgleichungen, und damit auch in der Physik eine große Rolle. Als Beispiel sei hier die Quantenmechanik genannt, wo die Zustände eines quantentheoretischen Systems einen Hilbertraum bilden.

Dualraum

Jeder Hilbertraum ist zugleich ein Banach-Raum und hat so alle dessen Eigenschaften. Insbesondere hat jeder Hilbertraum einen Dualraum. Hier gilt allerdings der Satz von Fréchet-Riesz: Jeder reelle Hilbertraum ist mittels der Abbildung $H \rightarrow H^\prime,\, v \mapsto \langle \,\cdot\,,\,v\rangle$ isometrisch isomorph zu seinem (topologischen) Dualraum. Im Falle eines komplexen Hilbertraums ist diese Abbildung zwar nur semilinear, aber es ist möglich, mittels einer semilinearen, normerhaltenden Bijektion $H \rightarrow H$, die man über eine Orthonormalbasis erhält, einen isometrischen Isomorphismus $H \rightarrow H^\prime$ zu konstruieren. In beiden Fällen ist der Hilbertraum außerdem isometrisch isomorph zu seinem Bidualraum. Dieser Satz hat weitreichende Konsequenzen.

Die Eigenschaft, dass die kanonische Inklusion eines Raumes in seinen Bidualraum ein isometrischer Isomorphismus ist, nennt man Reflexivität. Nach dem oben genannten Satz sind also alle Hilberträume reflexiv.

Beispiele für Hilberträume

• $\mathbb{R}^{n}$ mit dem Standardskalarprodukt $\langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n$.

• $\mathbb{C}^{n}$ mit $\langle u, v \rangle = \bar u_1 v_1 + \cdots + \bar u_n v_n$.

• Der Folgenraum $\ell^2$ aller Folgen mit der Eigenschaft, dass die Summe der Quadrate aller Folgenglieder endlich ist. Dieser ist der ursprüngliche Hilbertraum, anhand dessen David Hilbert die Eigenschaften solcher Räume untersuchte. Weiter ist dieses Beispiel wichtig, weil alle separablen unendlichdimensionalen Hilberträume isometrisch isomorph zu $\ell^2$ sind.

• Der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen L² mit dem Skalarprodukt $\textstyle \langle f,g \rangle_{L^2} = \int \overline{f(x)}\, g(x) \,{\rm d}x$. Eine vollständige Definition, die insbesondere die Vollständigkeit näher beleuchtet, findet sich im Artikel über L^p-Räume. Ein Beispiel eines solchen Raumes ist der oben genannte Raum der Wellenfunktionen in der Quantenmechanik.

• Der Raum AP² der fast-periodischen Funktionen, welcher folgendermaßen definiert wird: Zu $\lambda\in\mathbb R$ betrachte man die Funktionen $f_\lambda:\mathbb R\rightarrow\mathbb C$ mit $f_\lambda \left(t\right) = e^{i\lambda t}$. Durch das Skalarprodukt $\textstyle \langle f,g \rangle = \lim_{T\to +\infty}\tfrac{1}{4T} \int_{-T}^T \overline{f(t)}\,g(t)\,{\rm d}t$ wird der Raum $\operatorname{lin}\left\{f_\lambda:\lambda\in\mathbb R \right\}$ (der von den Funktionen f_λ aufgespannte Unterraum des Raums aller Funktionen) zu einem Prähilbertraum. Die Vervollständigung AP² dieses Raums ist also ein Hilbertraum. Seine besondere Bedeutung liegt darin, dass er im Gegensatz zu den obigen Beispielen ein Beispiel für einen nicht-separablen Hilbertraum ist.

• Der Sobolev-Raum H^p für alle $p \geq 0$ und die entsprechenden Unterräume

• Der Raum HS der Hilbert-Schmidt-Operatoren.

• Für p = 2 sind der Hardy-Raum $H^2(\mathbb{D})$ und der reelle Hardy-Raum $\mathcal{H}^2(\R^n)$ Hilberträume.

Orthogonalität

Zwei Elemente des Hilbertraumes heißen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Eine Familie von paarweise orthogonalen Vektoren heißt Orthogonalsystem. Unter den Orthogonalsystemen spielen die Orthogonalbasen eine besondere Rolle: das sind Orthogonalsysteme, die nicht mehr durch Hinzufügen eines weiteren Vektors vergrößert werden können, also bezüglich Inklusion maximal sind. Äquivalent dazu ist, dass die lineare Hülle im Hilbertraum dicht ist. Außer im Falle von endlichdimensionalen Räumen bilden Orthogonalbasen keine Basis im üblichen Sinn der linearen Algebra (Hamelbasis). Sind diese Basisvektoren darüber hinaus so normiert, dass das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst 1 ergibt, so spricht man von einem Orthonormalsystem bzw. einer Orthonormalbasis. Die Vektoren v_i bilden also genau dann ein Orthonormalsystem, wenn $\langle v_i , v_j \rangle = \delta_{ij}$ für alle i,j. Dabei ist δ_ij das Kronecker-Delta.

Jeder Hilbertraum besitzt eine Orthonormalbasis. Es kann sogar jedes Orthonormalsystem zu einer Orthonormalbasis ergänzt werden.

Fourierkoeffizient

Eine Orthonormalbasis ist ein mächtiges Hilfsmittel bei der Untersuchung von Hilberträumen über $\mathbb R$ bzw. $\mathbb C$ und ihren Elementen. Insbesondere bietet eine Orthonormalbasis eine einfache Möglichkeit, die Darstellung eines Vektors durch die Elemente der Orthonormalbasis zu bestimmen. Sei $B = (b_1, b_2, \dots)$ eine Orthonormalbasis und v ein Vektor aus dem Hilbertraum.

Da B eine Basis des Raumes bildet, gibt es Koeffizienten $\alpha_k\in \mathbb R$ bzw. $\mathbb C$, so dass $v=\sum\limits_k\alpha_k b_k$. Diese Koeffizienten bestimmt man unter Ausnutzung der speziellen Eigenschaften der Orthonormalbasis: $\langle b_n, v \rangle = \bigg\langle b_n,\sum_k \alpha_k b_k\bigg\rangle = \sum_k \alpha_k \langle b_n, b_k \rangle$. Da das Skalarprodukt von unterschiedlichen Basisvektoren 0 und von gleichen Basisvektoren 1 ist, erhält man so $\langle b_n, v \rangle = \alpha_n$.

Der n-te Basiskoeffizient der Darstellung eines Vektors in einer Orthonormalbasis kann also durch Skalarproduktbildung ermittelt werden.

Diese Koeffizienten werden auch Fourierkoeffizienten genannt, da sie eine Verallgemeinerung des Konzeptes der Fourieranalyse darstellen.

Akademischer Humor

An mehreren deutschen Universitäten gibt es als „Hilbertraum“ bezeichnete Räumlichkeiten, zum Beispiel: Universität Mainz, Universität Konstanz und Georg-August-Universität Göttingen, an dieser lehrte und forschte David Hilbert lange Jahre; dort trägt das Foyer des Mathematischen Institutes, in dem eine Büste des Mathematikers aufgestellt ist, diesen Namen.

Siehe auch

• Weitere mathematische Räume siehe unter: Raum (Mathematik)
• Hilbertraumbasis
• Besselsche Ungleichung
• Parsevalsche Gleichung
• Parallelogrammgleichung
• Hilbertraum-Tensorprodukt

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer Verlag, 2005. ISBN 3-540-43586-7, Kapitel V, VI und VII