- Reinhardt-Gebiet
-
In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher bezeichnet ein Reinhardt-Gebiet (auch Reinhardt'sches Gebiet oder Reinhardt'scher Körper genannt) ein Gebiet in
, welches als Vereinigung komplexer n-Tori aufgefasst werden kann.
Inhaltsverzeichnis
Definition
Sei
offen und zusammenhängend. Ω heißt Reinhardt-Gebiet, falls für jedes
und für alle
auch
liegt.
Ein Reinhardt-Gebiet Ω heißt vollkommen, wenn mit
auch der Polyzylinder
in Ω enthalten ist.
Graphische Darstellung
Ein Reinhardt-Gebiet
hat eine eindeutige Entsprechung in
, wobei jeder Punkt in
auf die Absolutbeträge seiner Koordinaten
abgebildet wird. Umgekehrt entspricht dann jeder Punkt in
einem komplexen n-Torus. Dadurch können auch Reinhardt-Gebiet in den höherdimensionalen Räumen
bzw.
noch graphisch im
bzw.
dargestellt werden.
Beispiele
- komplex n-dimensionaler Polyzylinder
mit Radien
0" border="0">
- komplex n-dimensionaler Ball
um
mit Radius ρ > 0.
Bedeutung in der Funktionentheorie
Die Bedeutung der Reinhardt-Gebiete liegt darin, dass sie die richtigen Gebiete sind, um Potenz- bzw. Laurent-Reihen zu betrachten. Das Konvergenzgebiet einer Potenzreihe ist ein vollkommenes Reinhardt'sches Gebiet. Allerdings ist nicht jedes vollkommene Reinhardt'sche Gebiet auch Konvergenzgebiet einer Potenzreihe.
Reinhardt'sche Gebiete spielen auch eine Rolle bei der Fortsetzung holomorpher Funktionen. Grundlegend ist dabei der folgende Satz:
Sei
ein Reinhardt-Gebiet, und
eine holomorphe Funktion. Dann existiert eine eindeutig bestimmte Laurent-Reihe
, welche auf kompakten Teilmengen von Ω absolut und gleichmäßig gegen die Funktion f konvergiert.
Gilt zudem, dass für jedes
ein Punkt
existiert, dessen j-te Koordinate 0 ist, dann ist die Laurentreihe sogar eine Potenzreihe und die holomorphe Funktion kann auf dem Konvergenzgebiet dieser Reihe eindeutig fortgesetzt werden.
Literatur
- Hans Grauert, Klaus Fritzsche: Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher. Springer-Verlag, Berlin 1974, ISBN 3-540-06672-1 u. ISBN 0-387-06672-1
- komplex n-dimensionaler Polyzylinder
Wikimedia Foundation.