Absolute Konvergenz

Die absolute Konvergenz ist ein Begriff aus der Analysis und wird im Zusammenhang mit Reihen benutzt. Für die absolut konvergenten Reihen bleiben manche Eigenschaften endlicher Summen gültig, die für die größere Menge der konvergenten Reihen im Allgemeinen falsch sind.

Definition

• Eine reellwertige oder komplexwertige Reihe $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n$ heißt absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} |a_n|$ konvergiert.

• Diese Definition wird auch auf Banachräume verallgemeinert. Es konvergiert eine Reihe in einem Banachraum absolut, wenn sie bezüglich seiner Norm konvergiert.

Beispiele

• Die Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2}$ ist wegen $\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ absolut konvergent.

• Die Potenzreihe der Exponentialfunktion $\exp(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} {z^n \over n!}$ ist für jedes komplexe $z\;$ absolut konvergent.
• Generell gilt, dass eine reelle oder komplexe Potenzreihe innerhalb des Konvergenzradius absolut konvergent ist.
• Die alternierende harmonische Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n}$ ist konvergent. Sie ist aber nicht absolut konvergent, denn beim Nachprüfen der definierenden Eigenschaft erhält man $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^{n-1}}{n} \right| = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$, also die gewöhnliche harmonische Reihe. Diese ist divergent.

Eigenschaften

Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. Das gilt sowohl für reellwertige als auch für komplexwertige Reihen. Da es umgekehrt Reihen gibt, die konvergent, aber nicht absolut konvergent sind (solche Reihen werden bedingt konvergent genannt), bildet die Menge der absolut konvergenten Reihen eine echte Teilmenge der Menge der konvergenten Reihen.

Manche Konvergenzkriterien für Reihen beweisen auch die absolute Konvergenz. Dazu gehören das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium.

Umordnungen

→ Hauptartikel: Umordnung von Reihen

Eine wesentliche Eigenschaft absolut konvergenter Reihen ist, dass man wie bei endlichen Summen die Summanden beliebig vertauschen kann: Jede Umordnung einer absolut konvergenten Reihe s, d.h. jede Reihe, die durch Umordnung der Reihenglieder von s entsteht, ist konvergent und konvergiert gegen den gleichen Grenzwert wie s. Dies ist genau umgekehrt zu konvergenten, aber nicht absolut konvergente Reihen t: Dort existiert stets eine Umordnung von t, die divergiert.

Ist die Reihe t reellwertig, so gilt die folgende, noch schärfere Aussage (Riemannscher Umordnungssatz): Zu jeder vorgegebenen Zahl $S\in\mathbb{R}\cup\{\pm\infty\}$ existiert eine Umordnung der Reihe t, die gegen S (uneigentlich) konvergiert. Die Begründung ist leicht anzugeben, wir beschränken uns auf den Fall $S\ne\pm\infty$. Man ordnet die Summanden in zwei Folgen

$a_1\geq a_2\geq\ldots\geq a_n\geq\ldots>0>\ldots\geq b_n\geq\ldots\geq b_2\geq b_1$

an (Summanden, die gleich null sind, werden weggelassen). Nun addiert man so lange Folgenglieder aus (a_n), bis S überschritten wird, dann (negative) Folgenglieder aus (b_n), bis S wieder unterschritten wird, dann wieder aus (a_n) usw. Das Verfahren ist durchführbar, weil $\sum a_n$ und $\sum b_n$ divergieren (ansonsten wäre die ursprüngliche Reihe absolut konvergent), und die umgeordnete Reihe konvergiert gegen S.

Verallgemeinerungen

Der Begriff der absoluten Konvergenz lässt sich auf normierte Räume verallgemeinern. Gegeben sei eine Folge $(x_n)_{n\in\N}$ von Elementen eines normierten Raumes $(X,\|\cdot\|)$. Die entsprechende Reihe $(s_n)_{n\in\N}$ wird durch

$s_n:=\sum_{\nu=1}^{n}x_\nu$

definiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, wenn $\sum_{\nu=1}^{\infty}\|x_\nu\|$ konvergiert.

Ist X ein Banachraum, also vollständig, so ist jede absolut konvergente Reihe auch konvergent. Tatsächlich gilt hiervon auch die Umkehrung: Ist $(X,\|\cdot\|)$ ein normierter Vektorraum und jede absolut konvergente Reihe konvergent, so ist X vollständig, also ein Banachraum.

In beliebigen vollständigen metrischen Räumen gilt ein verwandtes Resultat. Eine Folge $\left(s_n\right)_{n\in\N}$ ist zumindest dann konvergent, wenn die Summe

$\sum_{\nu=1}^{\infty} d\left(s_{\nu-1},s_{\nu}\right)$

konvergiert. Da in obigem Beispiel ja $d\left(s_{\nu-1},s_{\nu}\right)=\|x_\nu\|$ ergibt sich die absolute Konvergenz daraus als Spezialfall.

Literatur

• Avner Friedman: Foundations of Modern Analysis, Dover, New York 1970. ISBN 0-486-64062-0
• Konrad Knopp. Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 5. Auflage, Springer Verlag 1964, ISBN 3-540-03138-3