Resolvente

Resolvente

In der Mathematik ist die Resolvente die Inverse eines spektral verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Ihr Definitionsbereich ist die Resolventenmenge.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Für einen linearen Operator A (oder auch eine Matrix A\in\mathbb{C}^{n\times n}) definiert man die Resolventenmenge ρ(A) als das Komplement des Spektrums von A, d.h. als die Menge aller komplexen Zahlen z, für die der Operator zIA beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}, was lediglich ein anderes Vorzeichen bedeutet.

Eigenschaften

Die Resolvente ist eine analytische Funktion und kann auf \{z \in \mathbb{C}:|z| > r\}, wobei r der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

R\left(A,z\right) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{A^n}{z^{n+1}}.

Die Resolvente wird verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, z. B. die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus \left(z_1-z_2\right)I=z_1I-A-(z_2I-A) folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

R\left(A,z_2\right)-R(A,z_1)=(z_1-z_2)R(A,z_1)R(A,z_2)
                          =(z_1-z_2)R(A,z_2)R(A,z_1),

und aus A_1-A_2=zI-A_2-\left(zI-A_1\right) folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

R\left(A_1,z\right)-R(A_2,z)=R(A_1,z)(A_1-A_2)R(A_2,z).

Literatur


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