Definitionsbereich

In der Mathematik versteht man unter Definitionsmenge oder Definitionsbereich jene Teilmenge einer Grundmenge, für die im jeweiligen Zusammenhang eine wohldefinierte Aussage möglich ist. In der Schulmathematik wird die Definitionsmenge oft mit einem D abgekürzt, manchmal wird das D auch mit einem senkrechten Doppelstrich geschrieben.

Definitionsbereich einer Funktion

Eine Funktion $f \colon A \to B$ ist eine spezielle Relation, die jedem Element der Quelle A genau ein Element einer Zielmenge B zuweist. Für eine Funktion ist also stets der Definitionsbereich gleich der Quelle.

Die Menge

• $\{f(a)\mid a\in A\}=\{ b \mid \exists a\colon f(a) = b\}\subseteq B$

aller Bilder von Elementen von A unter f heißt Bildmenge von f.

Die Definitionsmenge und die Zielmenge einer Funktion sind wesentliche Teile ihrer Definition. Häufig werden aber die Definitionsmenge und Zielmenge einer Funktion nicht mit angegeben, wenn die Funktion auf der maximal möglichen Definitionsmenge gemeint ist (die dann meist eine Teilmenge von den reellen Zahlen $\mathbb{R}$ oder komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ ist).

Zwei Funktionen mit gleicher funktionaler Abhängigkeit, aber verschiedenen Definitionsmengen oder verschiedenen Zielmengen, sind jedoch unterschiedliche Funktionen und können unterschiedliche Eigenschaften haben.

Beispiele

Gegeben sei die Funktionsvorschrift $f: x \mapsto x^2$.

1. Als Funktion $\R_0^+\to\R_0^+$ (also mit Definitionsmenge $\R_0^+$ und Zielmenge $\R_0^+$) ist f bijektiv, also sowohl surjektiv als auch injektiv.
2. Als Funktion $\R_0^+\to\R$ (also mit Definitionsmenge $\R_0^+$ und Zielmenge $\R$) ist f injektiv, aber nicht surjektiv.
3. Als Funktion $\R\to\R_0^+$ (also mit Definitionsmenge $\R$ und Zielmenge $\R_0^+$) ist f surjektiv, aber nicht injektiv.
4. Als Funktion $\R\to\R$ (also mit Definitionsmenge $\R$ und Zielmenge $\R$) ist f weder surjektiv noch injektiv.

Einschränkung und Fortsetzung einer Funktion

Sei $f: A\to B$ eine Funktion und $U\subseteq A$, $V \subseteq B$. Die Funktion $r:U\to V$ heißt Einschränkung von f, wenn r(x) = f(x) für alle $x\in U$ gilt.^[1] f heißt in dieser Situation Erweiterung oder Fortsetzung von r.^[2]

Die Einschränkung r wird oft als $r=f\left|_U\right.$ geschrieben. Diese Notation ist nicht völlig exakt, da die Menge V nicht mit angegeben wird; in den interessanten Fällen wird aber meist V = B gewählt.

Für eine Funktion $f: A\to B$ und zwei gegebene Mengen $U\subseteq A$, $V\subseteq B$ gibt es höchstens eine Einschränkung $r: U \to V$ von f; diese existiert genau dann, wenn die Bildmenge von f Teilmenge von V ist.^[3]

Im Gegensatz zur Einschränkung einer Funktion ist die Fortsetzung nicht eindeutig.

Beispiel

Gegeben sei die Funktion

$f:\left\{\begin{matrix} \R\setminus \{0\} \to \R\\ x \mapsto x\sin\frac{1}{x} \end{matrix}\right.$

Mögliche Fortsetzungen auf den Definitionsbereich $\R$, also als Funktionen $\R\to \R$, sind beispielsweise sowohl

$f_0: x \mapsto\left\{\begin{matrix} 0 & \mbox{falls } x=0\\ x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0 \end{matrix}\right.$

als auch

$f_1: x \mapsto\left\{\begin{matrix} 1 & \mbox{falls } x=0\\ x\sin\frac{1}{x} & \mbox{falls } x\neq 0 \end{matrix}\right.$

f₀ ist insofern eine "schönere" Fortsetzung, als f₀ stetig ist, f₁ hingegen nicht. Dies ändert aber nichts daran, dass beide Funktionen korrekte Fortsetzungen sind, da eine eindeutige Fortsetzung in der Funktionsdefinition selbst nicht erhalten ist. Eindeutigkeit ergibt sich erst aus zusätzlichen Forderungen, wie eben Stetigkeit in diesem Beispiel, oder beispielsweise in der Forderung nach einer holomorphen Fortsetzung auf die komplexen Zahlen von einer Funktion, die zunächst nur auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definiert ist.

Definitionsbereich einer Relation

Unter dem Definitionsbereich der Relation R = (A,B,G) mit

$G\subseteq A\times B$

versteht man die Projektion von R auf A, also jene Teilmenge von Elementen der Quelle A, die als erste Komponenten in Elementen $(a,b)\in G$ vorkommen:^[4]

$D(R):=\{a\in A|\exist b\in B: (a,b)\in G\}.$

Beispiel

Gegeben sei die Relation $R=(\R,\R,G)$ mit

G = {(x,y) | x = y²}.

Da für reelle y das Quadrat immer nichtnegativ (positiv) ist und umgekehrt für jedes nichtnegative reelle x mindestens eine reelle Zahl y mit x = y² existiert, ist für diese Relation der Definitionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen: $D(R)=\R_0^+$.

Definitionsbereich eines Terms

Der Definitionsbereich eines Terms mit n Variablen a_i und den dazugehörigen Grundmengen A_i ist die Menge aller n-Tupel $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$, $\alpha_i\in A_i$ für $i=1,\dots,n$, für die der Term in sinnvolle Werte übergeht.^[5].

Beispiele

Der Definitionsbereich des Terms $\frac{1}{x-1}$ in einer Variablen mit der Grundmenge $x\in\R$ ist $\{x\in \R| x\neq 1\}$, da der Bruch nur für einen von Null verschiedenen Wert des Nenners sinnvoll definiert ist.

Der Definitionsbereich des Terms $\sqrt{x-1}+\sqrt{y-2}$ in zwei Variablen mit der Grundmenge $x,y\in\R$ ist $\{(x,y)\in \R\times\R| x\geq 1 \mbox{ und } y\geq 2\}$, da im reellen Fall die Wurzel nur für nichtnegative Werte sinnvoll definiert ist.

Definitionsbereich von Gleichungen und Ungleichungen

Sind T₁ und T₂ Terme, so nennt man

T₁ = T₂

eine Gleichung,

$T_1\leq T_2$

und

T₁ > T₂

und ähnliche Ausdrücke nennt man Ungleichungen. Beim Lösen einer Gleichung bzw. Ungleichung sucht man jene Werte aus dem Grundbereich, für welche die Gleichung bzw. Ungleichung in eine wahre Aussage übergeht. Als Definitionsbereich bezeichnet man jenen Teilmenge des Grundbereiches, für den alle in der Gleichung bzw. Ungleichung auftretenden Terme sinnvoll definiert sind, also die Durchschnittsmenge der Definitionsmenge von T₁ und T₂.^[6]

Insbesondere bei komplizierteren Gleichungen kann es vorkommen, dass beim Lösen der Ausgangsgleichung auf eine Gleichung umgeformt wird, die auch Lösungen enthält, die nicht im Definitionsbereich der Ausgangsgleichung enthalten sind. In einem solchen Fall muss also nach dem Lösen der Gleichung überprüft werden, ob die erhaltenen Lösungswerte tatsächlich im Definitionsbereich enthalten sind und gegebenenfalls einige Werte ausgeschieden werden.

Beispiel

Es sind die reellen Lösungen der Gleichung

$\sqrt{x-1}+\sqrt{x+1}=\sqrt{2x+\frac{3}{2}}$

gesucht. Da unter der Wurzel nur nichtnegative Werte stehen dürfen, ist der Definitionsbereich der Gleichung $\{x\in\R|x\geq 1\}$.

Quadrieren der Gleichung liefert

$2x+2\sqrt{x^2-1}=2x+\frac{3}{2}$

bzw.

$\sqrt{x^2-1}=\frac{3}{4}$.

Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung, es gilt zwar $a=b\implies a^2=b^2$, aber nicht $a^2=b^2\implies a=b$, die umgeformte Gleichung kann also mehr Lösungen als die Ausgangsgleichung enthalten. Nochmaliges Quadrieren ergibt

$x^2-1=\frac{9}{16}$

bzw.

$x^2=\frac{25}{16}$.

Diese Gleichung hat die beiden Lösungen $x=-\frac{5}{4}$ und $x=\frac{5}{4}$. Der Wert $x=-\frac{5}{4}$ ist nicht im Definitionsbereich der Gleichung enthalten und ist somit keine Lösung; der Wert $x=\frac{5}{4}$ ergibt in die Ausgangsgleichung eingesetzt eine wahre Aussage und ist somit die einzige Lösung der Gleichung.

Einzelnachweise

1. ↑ Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 38f, Definition 3.13
2. ↑ Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 167, Funktion VII.
3. ↑ Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 39, Satz 3.13 und Satz 3.14.
4. ↑ Edmund Hlawka, Christa Binder, Peter Schmitt: Grundbegriffe der Mathematik. Prugg Verlag, Wien 1979. ISBN 3-85385-038-3. S. 18.
5. ↑ Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 167, Funktion VII.
6. ↑ Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg): Lexikon der Mathematik, VEB Bibliographisches Institut Leipzig, 1979. S 199, Gleichung.