Reziprokes Polynom

In der Mathematik ist ein reziprokes Polynom ein Polynom, dessen Koeffizienten in einem geeigneten Sinne symmetrisch sind:

Ein Polynom

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad n heißt reziprok, wenn $c_k = c_{n-k}\,$ für k=0,...,n gilt (die Folge der Koeffizienten ist also spiegelsymmetrisch).

Dies ist genau dann der Fall, wenn

$p(X) = X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$.

Manchmal wird das Polynom $p^*(X) = X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$ das reziproke Polynom von p(X) genannt.

In diesem Fall nennt man Polynome, die die Symmetriebedingung erfüllen, selbst-reziprok - dies ist die übliche Sprechweise in der englischsprachigen Fachliteratur.^[1]

Reziproke Polynome werden oft auch über endlichen Körpern verwendet.^[2]

Beispiele

1. Die Kreisteilungspolynome sind reziprok.^[3]
2. Alexanderpolynome von Knoten (siehe Knotentheorie) sind reziprok. Für ein Alexanderpolynom der Form $c_0+c_1 t + \cdots + c_0 t^n$ führt (nach Skalierung mit t ^{− n / 2}) die Substitution $z^2=t+\frac{1}{t}-2$ auf das Conway-Polynom.

Eigenschaften

Reziproke Polynome haben zum Beispiel folgende Eigenschaften:

• Ist x eine Nullstelle eines reziproken Polynoms, so ist auch 1 / x eine Nullstelle.
• Daraus folgt: ist der Grad eines reziproken Polynoms p ungerade, so ist − 1 eine Nullstelle. Dann ist p(X) durch X + 1 teilbar. Der Quotient (siehe Polynomdivision) ist wieder ein reziprokes Polynom.
• Ist der Grad n = 2k eines reziproken Polynoms p gerade, so kann p(X) geschrieben werden als

$p(X) = X^k q\!\left(X+\frac1X\right)$

mit einem eindeutig bestimmten Polynom q vom Grad k = n / 2. Die Nullstellen von p sind also genau die Lösungen x von

$x + \frac1x = z$

für die Nullstellen z von q.

Varianten

Variante 1

Man kann die Symmetriebedingung folgendermaßen abwandeln: Polynome

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad n, für die

$c_k = -c_{n-k}\,$ für k=0,...,n

gilt, haben ähnliche Eigenschaften wie reziproke Polynome:

• Sie sind genau die Polynome p vom Grad n, die $p(X) = -X^n\cdot p\!\left(\frac1X\right)$ erfüllen.
• Ist x eine Nullstelle, so auch 1 / x. Jedes solche Polynom hat die Nullstelle 1.

Variante 2

Wir nehmen an, dass der verwendete Grundkörper nicht Charakteristik 2 hat.

Man kann Polynome

$c_nX^n + c_{n-1}X^{n-1} + \ldots + c_1 X + c_0$

vom Grad n betrachten, deren Koeffizienten

$c_k = (-1)^kc_{n-k}\,$ für k=0,...,n

erfüllen. Nichttriviale Polynome dieser Art sind nur für gerade n möglich.

Sie haben folgende Eigenschaften:

• Sie sind charakterisiert durch

$p(X) = X^n\cdot p\!\left(-\frac1X\right).$

• Ist x eine Nullstelle, so auch − 1 / x.
• Ist n nicht durch 4 teilbar, so sind i und − i Nullstellen. Ein solches Polynom ist also durch X² + 1 teilbar; der Quotient ist wieder ein Polynom derselben Art, dessen Grad durch 4 teilbar ist.
• Ist n = 4k durch 4 teilbar, so lässt sich ein derartiges Polynom p als $p(X) = X^{2k}\cdot q\!\left(X-\frac1X\right)$ mit einem eindeutig bestimmten Polynom q vom Grad 2k = n / 2 schreiben. Die Nullstellen von p sind also die Lösungen x der Gleichungen $x - \frac1x = z$ für die Nullstellen z von q.

Literatur

• Meyers großer Rechenduden, Bibliographisches Institut, Mannheim, 1961.
• Helmut Meyn, Werner Götz: Self-reciprocal Polynomials Over Finite Fields, [1]

Einzelnachweise

1. ↑ Bei komplexen Polynomen, $f \in \C[X]$, verwendet man meist eine ähnliche Symmetrie-Bedingung, nämlich $c_k = \overline{c_{n-k}}$ für k=0,...,n (die Koeffizienten werden konjugiert).
2. ↑ Siehe zum Beispiel den Artikel von Meyn/Götz.
3. ↑ Man könnte hier noch den Beweis skizzieren, oder eine Referenz angeben.