Kreisteilungspolynom

Unter dem n-ten Kreisteilungspolynom Φ_n versteht man dasjenige ganzzahlige Polynom größten Grades mit Leitkoeffizient 1, das xⁿ − 1 teilt, jedoch zu allen x^d − 1 mit d < n teilerfremd ist. Seine Nullstellen über $\mathbb{C}$ sind genau die primitiven n-ten Einheitswurzeln $e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n}$, wobei k die zu n teilerfremden Zahlen zwischen 1 und n durchläuft. Die Bezeichnung "Kreisteilungspolynom" stammt vom geometrischen Problem der Kreisteilung, also der Konstruktion eines regelmäßigen Vielecks. Für welche n dies unter Beschränkung auf die „Euklidischen Werkzeuge“ Zirkel und Lineal gelingt, findet sich im Artikel „Konstruierbare Polygone“.

Eigenschaften

Die Zerlegung des n-ten Kreisteilungspolynoms in Linearfaktoren ergibt

$\Phi_n(x) = \!\!\!\! \prod_{1 \leq k \leq n\atop \operatorname{ggT}(k, n) = 1} \!\!\!\! \left(x - e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n}\right)$

Daher ist der Grad von Φ_n gleich ϕ(n), der Anzahl der zu n teilerfremden Zahlen unterhalb n. Die hierdurch definierte Funktion ϕ hat als Eulersche Phi-Funktion in der Zahlentheorie eine erhebliche Bedeutung.

Umgekehrt gilt die Produktdarstellung

$x^n - 1 =\prod_{1\leq k\leq n} \left(x- e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n} \right)= \prod_{d \mid n} \prod_{1 \leq k \leq n\atop \operatorname{ggT}(k, n) = d} \left(x- e^{2 \pi \cdot \mathrm i k / n} \right) =\prod_{d \mid n} \Phi_{n/d}(x) = \prod_{d\mid n} \Phi_d(x)$

Das n-te Kreisteilungspolynom hat ganzzahlige Koeffizienten, liegt also in $\mathbb{Z}[x]$. Es ist dort und in $\mathbb{Q}[x]$ ein irreduzibles Polynom, folglich Minimalpolynom jeder primitiven n-ten Einheitswurzel. Somit ist der Restklassenring $\mathbb Q[x]/(\Phi_n)$ sogar ein Körper, und zwar der kleinste, worin der Einheitskreis der komplexen Ebene derart in n gleichlange Teile zerlegt werden kann, dass sämtliche Unterteilungspunkte zu dem Körper gehören. Er wird daher Kreisteilungskörper genannt.

Verallgemeinerung

Der Begriff des Kreisteilungspolynoms kann auf die Einheitswurzeln über einem beliebigen Körper verallgemeinert werden. Auf diese Weise ergeben sich insbesondere alle endlichen Körper als Kreisteilungskörper über ihrem Primkörper.