Satz von Gleason-Kahane-Zelazko

Satz von Gleason-Kahane-Zelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer \C-Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien A eine \C-Banachalgebra mit Einselement e und \varphi:A\rightarrow \C ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

  1. \varphi\not= 0, und \varphi ist multiplikativ, das heißt, \varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b) für alle a,b\in A.
  2. \varphi(e)=1, und \rm ker(\varphi) besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
  3. \varphi(a)\in \sigma(a) für alle a\in A, das heißt, für jedes a\in A liegt \varphi(a) im Spektrum von a

Bemerkungen

  • Die Schlüsse (1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3) sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss (3) \Rightarrow (1).
  • Für reelle Banachalgebren ist der Satz falsch. Ist C_{\R}([0,1]) die Banachalgebra der stetigen Funktionen [0,1]\rightarrow \R und ist \varphi:C_{\R}([0,1])\rightarrow \R definiert durch \varphi(f):=\int_0^1f(t)\,{\rm d}t, so ist \varphi ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem f\in C_{\R}([0,1]) gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein t_0\in [0,1] mit \varphi(f) = \int_0^1f(t)\,{\rm d}t = f(t_0), und f(t0) liegt im Spektrum von f, denn f-f(t_0)\cdot 1 hat eine Nullstelle, nämlich t0, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt \varphi den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

Quellen

  • F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862.
  • Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d'Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171-172.
  • Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339-343.

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