Satz von Gleason-Kahane-Zelazko

Der Satz von Gleason-Kahane-Żelazko, benannt nach Andrew Gleason, Jean-Pierre Kahane und Wiesław Żelazko, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Der Satz charakterisiert die multiplikativen linearen Funktionale auf einer $\C$-Banachalgebra.

Formulierung des Satzes

Seien A eine $\C$-Banachalgebra mit Einselement e und $\varphi:A\rightarrow \C$ ein lineares Funktional. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

1. $\varphi\not= 0$, und $\varphi$ ist multiplikativ, das heißt, $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ für alle $a,b\in A$.
2. $\varphi(e)=1$, und $\rm ker(\varphi)$ besteht nur aus nicht-invertierbaren Elementen.
3. $\varphi(a)\in \sigma(a)$ für alle $a\in A$, das heißt, für jedes $a\in A$ liegt $\varphi(a)$ im Spektrum von a

Bemerkungen

• Die Schlüsse $(1) \Rightarrow (2) \Rightarrow (3)$ sind sehr einfach. Die nicht-triviale Aussage des Satzes steckt im Schluss $(3) \Rightarrow (1)$.
• Für reelle Banachalgebren ist der Satz falsch. Ist $C_{\R}([0,1])$ die Banachalgebra der stetigen Funktionen $[0,1]\rightarrow \R$ und ist $\varphi:C_{\R}([0,1])\rightarrow \R$ definiert durch $\varphi(f):=\int_0^1f(t)\,{\rm d}t$, so ist $\varphi$ ein stetiges lineares Funktional. Zu jedem $f\in C_{\R}([0,1])$ gibt es nach dem Mittelwertsatz der Integralrechnung ein $t_0\in [0,1]$ mit $\varphi(f) = \int_0^1f(t)\,{\rm d}t = f(t_0)$, und f(t₀) liegt im Spektrum von f, denn $f-f(t_0)\cdot 1$ hat eine Nullstelle, nämlich t₀, und ist daher nicht invertierbar. Daher erfüllt $\varphi$ den dritten Punkt obigen Satzes, nicht aber den ersten, denn das Integrieren ist bekanntlich nicht multiplikativ.

Quellen

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862.
• Andrew M. Gleason: A characterization of maximal ideals. Journal d'Analyse Mathématique, Band 19 (1967), Seiten 171-172.
• Jean-Pierre Kahane, Wiesław Żelazko: A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras. Studia Mathematica, Band 29 (1968), Seiten 339-343.