Mittelwertsatz der Integralrechnung

Zur geometrischen Deutung des Mittelwertsatzes

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung (auch Cauchyscher Mittelwertsatz genannt) ist ein wichtiger Satz der Analysis. Er erlaubt es, Integrale abzuschätzen, ohne den tatsächlichen Wert auszurechnen und liefert einen einfachen Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis. Hier wird das Riemann-Integral betrachtet. Die Aussage lautet:

Sei $f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ eine stetige Funktion, sowie $g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ integrierbar und entweder $g \ge 0$ oder $g \le 0$. Dann existiert ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(\xi)\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

gilt. Manche Autoren bezeichnen die obige Aussage als erweiterten Mittelwertsatz und die Aussage für g = 1 als Mittelwertsatz oder ersten Mittelwertsatz. Für g = 1 bekommt man den wichtigen Spezialfall:

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx} = f(\xi)(b-a)$,

der sich geometrisch leicht deuten lässt: Die Fläche unter der Kurve zwischen a und b ist gleich dem Inhalt eines Rechtecks mittlerer Höhe.

Beweis

Sei $g(x)\ge 0$ auf dem Intervall [a,b]. Der andere Fall kann durch Übergang zu -g auf diesen zurückgeführt werden. Seien k und K das Infimum bzw. das Supremum von f auf [a,b], so folgt aus $k \le f(x) \le K$ und der Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals:

$k\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \leq \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \leq K\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}.$

Es gibt also ein $\eta \in [k,K]$ mit

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = \eta\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

und aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass es ein $\xi \in [a,b] \ \mathrm{mit} \ f(\xi) = \eta$ gibt. Man kann sogar zeigen, dass ξ im Innern des Intervalls (a,b) gefunden werden kann.

Zweiter Mittelwertsatz der Integralrechnung

Seien $f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ Funktionen, f monoton und g stetig. Dann existiert ein $\xi \in [a,b]$, so dass

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(a)\int\limits_{a}^{\xi}{g(x)dx}+f(b)\int\limits_{\xi}^{b}{g(x)dx}.$

Im Fall, dass f sogar stetig differenzierbar ist, kann man $\xi \in (a,b)$ wählen. Der Beweis erfordert partielle Integration, den Fundamentalsatz der Analysis und den obigen Satz.

Literatur

• Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen. Vieweg, Braunschweig ⁷2004. ISBN 3-528-67224-2
• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1. 8. Auflage, B. G. Teubner, Stuttgart 1990. ISBN 3-519-12231-6