Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Liealgebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lieklammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Liealgebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei $\mathfrak g$ eine Liealgebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra $\mathrm U(\mathfrak g)$ von $\mathfrak g$ besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus $\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)$ (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist A eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen $\mathfrak g\to A$ in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen $\mathrm U(\mathfrak g)\to A$. Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus $\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)$ vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist $X_1,\ldots,X_n$ eine Basis von $\mathfrak g$ und $i\colon\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)$ die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

$i(X_{i_1})i(X_{i_2})\cdots i(X_{i_k})$ mit $i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_k$

eine Basis von $\mathrm U(\mathfrak g)$.

• Insbesondere ist i injektiv, und jede Liealgebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Liealgebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra $\mathrm T\mathfrak g$ nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

$X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]$

für $X,Y\in\mathfrak g$ erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, $\mathrm U(\mathfrak g)$ trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist $\mathfrak g$ abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über $\mathfrak g$.