Satz von Plancherel

Der Satz von Plancherel ist eine Aussage aus dem mathematischen Teilgebiet der Fourier-Analysis, das zur Funktionalanalysis gehört. Der Satz besagt, dass die Fourier-Transformation auf dem Raum L² der quadratintegrierbaren Funktionen eine Isometrie ist, also dass eine Funktion und ihre Fourier-Transformierte die gleiche L²-Norm haben. Im Jahr 1910 wurde die Aussage von Michel Plancherel bewiesen, nach dem der Satz auch benannt ist.

Aussage

Es existiert eine Isometrie $\Psi \colon L^2(\R^n) \to L^2(\R^n)$, die unitär ist und eindeutig durch

$\Psi(f) = \mathcal{F}(f)$

für alle $f \in \mathcal{S}$ bestimmt ist, wobei $\mathcal{F}$ die Fourier-Transformation und $\mathcal{S}$ den Schwartz-Raum bezeichnet.

Bemerkungen

1. Die Gleichheit $\Psi(f) = \mathcal{F}(f)$ gilt nicht nur für $f \in \mathcal{S}$, sondern auch für $f \in L^1(\R^n) \cap L^2(\R^n)$, da $\mathcal{S}$ sowohl in $L^1(\R^n)$ als auch in $L^2(\R^n)$ dicht liegt. Da Ψ auf $L^2(\R^n)$ und die Fourier-Transformation $\mathcal{F}$ auf $L^1(\R^n)$ definiert ist, kann man Ψ als Fortsetzung der Fourier-Transformation auf $L^2(\R^n)$ verstehen. Diese Fortsetzung wird ebenfalls wieder Fourier-Transformation oder seltener Fourier-Plancherel-Transformation genannt.
2. Der Satz von Parseval ist das Analogon des Satzes von Plancherel für Fourier-Reihen. Jedoch hängen die Sätze nicht direkt zusammen, da bei der kontinuierlichen Fourier-Transformation kein Orthogonalsystem zugrunde liegt.

Literatur

• Walter Rudin: Functional Analysis. McGraw-Hill, New York 1991, S. 188–189, ISBN 0070542368

Weblinks

• Plancherel's Theorem by Mathworld