Schnittzahl (Algebraische Geometrie)

In der Algebraischen Geometrie bezeichnet die Schnittzahl eine positive ganze Zahl, welche die Schnittmultiplizität von Schnittpunkten algebraischer Kurven bezeichnet.

Definition

• Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien F und G ebene affine algebraische Kurven in k². Die Schnittzahl von F und G im Punkt $P \in k^2$ wird mit $I(P, F \cap G)$ bezeichnet und ist definiert durch:

$I(P, F \cap G) := \dim_k \left( \mathcal{O}_P(k^2) / (F, G) \right)$

Dabei bezeichnet $\mathcal{O}_P(k^2)$ den im Punkt P lokalisierten Ring der regulären Funktionen $\mathcal{O}(k^2)$ der affinen Varietät k².

• F und G schneiden sich eigentlich in P, wenn sie keine gemeinsame Komponente haben, die P enthält.
• F und G schneiden sich transversal in P, wenn P ein Einfachpunkt beider Kurven ist und die Tangenten beider Kurven in diesem Punkt verschieden sind.

Eigenschaften

Die Schnittzahl weist folgende Eigenschaften auf:

1. Falls sich F und G in P eigentlich schneiden, ist $I(P, F \cap G)$ eine nicht-negative ganze Zahl, ansonsten ist $I(P, F \cap G) = \infty$.
2. $I(P, F \cap G) = 0 \Longleftrightarrow P \not\in F \cap G$ und $I(P, F \cap G)$ ist nur von den Komponenten von F und G abhängig, welche durch P gehen.
3. Sei T eine affine Koordinatentransformation von k² mit T(Q) = P, dann gilt: $I(P, F \cap G) = I(Q, F \circ T \cap G \circ T)$
4. $I(P, G \cap F) = I(P, F \cap G)$
5. $I(P, F \cap G) \geq m_P(F) \cdot m_P(G)$ mit Gleichheit genau dann, wenn F und G in P keine gemeinsamen Tangenten haben.
6. Falls $F = \prod_{i=1}^n F_i^{r_i}$ und $G = \prod_{i=1}^m G_j^{s_j}$, dann gilt: $I(P, F \cap G) = \sum_{i, j} r_i s_j I(P, F_i \cap G_j)$
7. $I(P, F \cap G) = I(P, F \cap (G + AF)) \quad \forall A \in \mathcal{O}(k^2)$
8. Wenn P ein Einfachpunkt von F ist, dann gilt $I(P, F \cap G) = \mathrm{ord}_P^F(G)$.
9. Wenn F und G keine gemeinsamen Komponenten haben, so gilt: $\sum_{P \in k^2} I(P, F \cap G) = \dim_k\left(\mathcal{O}(k^2) / (F,G) \right)$

Durch diese Eigenschaften ist die Schnittzahl zugleich eindeutig bestimmt.

Beispiel

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper von Charakteristik 0 und F = (X − 1)(Y² − X³)² sowie G = (X − 1)²(Y² − X³ − X²). Man findet folgende Schnittpunkte:

• $(1,y), \; y \in k$. In diesem Fall liegen die Punkte in einer gemeinsamen Komponente X − 1 von F und G, also gilt: $I((1, y), F \cap G) = \infty$
• (0,0): Unter Benutzung der Eigenschaften der Schnittzahl berechnet man:

$I((0,0), F \cap G) = I((0,0), (Y^2-X^3)^2 \cap (Y^2-X^3-X^2))$

$= 2 \cdot I((0,0), (Y^2-X^3) \cap (Y^2-X^3-X^2)) = 2 \cdot I((0,0), (Y^2-X^3) \cap X^2)$

$= 2 \cdot m_{(0,0)}(Y^2-X^3)\cdot m_{(0,0)}(-X^2) = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$

Satz von Bézout

Durch Einführen homogener Koordinaten lässt sich Definition der Schnittzahl auf projektive ebene Kurven ausdehnen. Der Satz von Bézout besagt dann, dass für projektive ebene Kurven F,G ohne gemeinsame Komponenten gilt:

$\sum_{P \in \mathbb{P}^2(k)} I(P, F \cap G) = \deg F \cdot \deg G$

Beschränkt man sich auf affine ebene Kurven ohne gemeinsame Komponenten, gilt hingegen nur die Ungleichung:

$\sum_{P \in k^2} I(P, F \cap G) \leq \deg F \cdot \deg G$

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung auf Varietäten höherer Dimensionen ist möglich, siehe dazu das mit dem Steele-Preis ausgezeichnete Werk „Intersection Theory“ von William Fulton.

Siehe auch

• Schnittzahl

Literatur

• William Fulton: Algebraic Curves. An Introduction to Algebraic Geometry. Mathematics lecture note series, 30. Benjamin/Cummings, New York 1969, ISBN 0-201-51010-3
• William Fulton: Intersection Theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Folge 3. Springer, Berlin 1998, ISBN 3-540-62046-X