- Satz von Bézout
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In der Algebraischen Geometrie beschreibt der klassische Satz von Bézout die Anzahl der Schnittpunkte ebener algebraischer Kurven. Er wurde von Étienne Bézout im 18. Jahrhundert formuliert und (im Rahmen der laxeren Ansprüche jener Zeit) bewiesen.
Inhaltsverzeichnis
Aussage
Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper und seien F und G zwei projektive ebene Kurven im zweidimensionalen projektiven Raum
ohne gemeinsame Komponenten. Dann gilt:
wobei
die Schnittzahl bezeichnet.
Folgerungen
- Zwei projektive ebene Kurven F und G schneiden sich immer in mindestens einem Punkt und maximal in
verschiedenen Punkten.
- Für affine ebene Kurven F und G ohne gemeinsame Komponenten gilt die Ungleichung
.
Verallgemeinerung
Eine Verallgemeinerung für algebraische Varietäten lautet wie folgt:
Seien A, B algebraische Varietäten vom Grad deg A = a bzw. deg B = b im n-dimensionalen projektiven Raum
. Ferner sei
eine Varietät der Dimension
.
Dann ist
.
Weblinks
Wikiversity: Ein Beweis des Satzes im ebenen Fall – Kursmaterialien, Forschungsprojekte und wissenschaftlicher Austausch
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