Semiprimideal

Ein Semiprimideal ist ein Begriff aus der abstrakten Algebra. Er stellt eine Erweiterung des Begriffs des Primideals dar.

Definition

Im Folgenden sei R ein Ring mit 1. Dann ist ein Ideal Q von R ein Semiprimideal, wenn es eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt^[1]:

• Ist $I \triangleleft R$ ein Ideal von R mit $I^2 \subseteq Q$, dann ist $I \subseteq Q$.
• Q ist ein Durchschnitt von Primidealen.

Eigenschaften

• Ein Ring R heißt semiprim, wenn {0} ein Semiprimideal ist. Dann ist die Abbildung $R\rightarrow \prod_P R/P,\, x\mapsto (x+P)_P$, wobei das Produkt über alle Primideale gebildet wird, injektiv. Daher ist ein semiprimer Ring subdirektes Produkt primer Ringe, das heißt solcher, in denen das Nullideal prim ist.^[2]
• Ein Durchschnitt von Semiprimidealen ist wieder ein Semiprimideal.
• Das Primradikal ist das kleinste Semiprimideal.

Einzelnachweise

1. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Theorem 2.6.17 angewandt auf R/Q.
2. ↑ Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), § 2.2