Primideal

Primideal

In der Ringtheorie ist ein Primideal eine Teilmenge eines Ringes, die sich ähnlich wie eine Primzahl als Element der ganzen Zahlen verhält.

Inhaltsverzeichnis

Definitionen

Es sei R ein Ring. Dann heißt ein zweiseitiges Ideal \mathfrak{p} \subseteq R Primideal oder prim, falls \mathfrak{p} echt ist, also \mathfrak{p} \neq R, und wenn für alle Ideale \mathfrak{a, b} \subseteq R gilt[1]:

Aus \mathfrak{ab} \subseteq \mathfrak{p} folgt \mathfrak{a}\subseteq \mathfrak{p} oder \mathfrak{b}\subseteq \mathfrak{p}.

Außerdem heißt \mathfrak{p} vollständiges Primideal oder vollprim, falls \mathfrak{p} echt ist und wenn für alle a, b \in R gilt:

Aus ab \in \mathfrak{p} folgt a \in \mathfrak{p} oder b \in \mathfrak{p}.

Äquivalente Definitionen

  • Ein zweiseitiges Ideal \mathfrak{p}\subseteq R ist genau dann prim, falls es echt ist und wenn für alle a, b \in R gilt:
Aus (für alle r \in R gilt arb \in \mathfrak{p}) folgt (a \in \mathfrak{p} oder b \in \mathfrak{p}).

Spektrum

Die Menge aller (echten) Primideale eines Rings R heißt Spektrum von R und wird mit Spec(R) notiert.

Eigenschaften

  • Jedes vollprime Ideal ist prim, aber nicht umgekehrt. Zum Beispiel ist das Nullideal im Ring der reellen n×n-Matrizen prim, aber nicht vollprim.
  • In kommutativen Ringen sind prim und vollprim äquivalent.

In kommutativen Ringen R mit Einselement gilt:

  • Ein Element p \in R\backslash\left\{0\right\} ist genau dann ein Primelement, wenn das von p erzeugte Hauptideal (p) ein Primideal ist.[2]
  • Enthält ein Primideal einen Durchschnitt \bigcap \mathfrak{a}_i von Idealen, so enthält es auch ein \mathfrak{a}_i.
  • Ein Ideal \mathfrak{p} \subset R ist genau dann ein Primideal, wenn die Komplementärmenge S=R\setminus \mathfrak{p} multiplikativ abgeschlossen ist. Das führt zum Begriff der Lokalisierung nach \mathfrak{p}, worunter man den Ring S − 1R versteht, den man auch als R_\mathfrak{p} schreibt.[3]

Beispiele

  • Die Menge 2\mathbb{Z} der geraden ganzen Zahlen ist ein Primideal im Ring \mathbb{Z} der ganzen Zahlen, da ein Produkt zweier ganzer Zahlen nur dann gerade ist, wenn wenigstens ein Faktor gerade ist.
  • Die Menge 6\mathbb{Z} der durch 6 teilbaren ganzen Zahlen ist kein Primideal in \mathbb{Z}, da 2·3 = 6 in der Teilmenge liegt, aber weder 2 noch 3.
  • Ein maximales Ideal \mathfrak{m}\subseteq R eines Ringes R ist genau dann prim, wenn RR \nsubseteq \mathfrak{m}. Insbesondere ist \mathfrak{m} prim, falls R ein Einselement enthält.
  • Das Nullideal (0)\subset R ist genau dann ein Primideal, wenn R ein Integritätsbereich ist.

Einzelnachweise

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Definition 2.2.3'
  2. K. Meyberg: Algebra, Teil 1, Carl Hanser Verlag München (1975), ISBN= 3-446-11965-5, Satz 3.6.5
  3. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Kapitel III, §4, Beispiel d) hinter Satz 3.5

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