Sollfahrttheorie

Die Sollfahrttheorie dient der Maximierung der Reisegeschwindigkeit von antriebslosen Luftfahrtgeräten (Segelflugzeug, Hängegleiter, Gleitschirm).

Grundannahmen

Modell eines Streckenfluges

Die Sollfahrttheorie bezieht sich auf ein Modell, welches rechts dargestellt ist. Das Flugzeug gleitet von einem Aufwind zum nächsten, legt eine Strecke zurück und verliert dabei an Höhe. Beim nächsten Aufwind angekommen, kreist es wieder zur Ausgangshöhe empor. Fliegt der Pilot zu schnell, so kommt er tiefer am Aufwind an und muss sehr lange steigen. Fliegt er zu langsam, kommt er zwar hoch an ist aber dabei sehr langsam. Zwischen diesen beiden Extremen liegt die optimale Vorfluggeschwindigkeit, bei der die Reisegeschwindigkeit maximal wird.

Die Sollfahrttheorie beruht auf folgenden Annahmen:

1. Das Flugzeug steigt nur beim Kreisen im Aufwind, während des Gleitflugs sinkt es.
2. Der nächste Aufwind wird immer erreicht.
3. Der Pilot kann die Stärke des nächsten Aufwindes abschätzen.

Gerade die beiden letzten Annahmen sind in der Praxis nicht immer gegeben. Entspricht das Steigen des nächsten Aufwindes nicht der Erwartung, dann wird auch mit nicht optimaler Geschwindigkeit geflogen. Kann der nächste Aufwind nicht sicher erreicht werden, kann es unter Umständen sinnvoll sein, mit einer anderen Fahrt zu fliegen.

Mathematische Herleitung

Die Reisegeschwindigkeit

v_gl = Fluggeschwindigkeit (Gleiten)

v_si = Sinkgeschwindigkeit (positive Zahl!)

v_st = Steiggeschwindigkeit im Aufwind

v_Reise = Reisegeschwindigkeit (Durchschnittsgeschwindigkeit)

E = Entfernung zum nächsten Aufwind

H = Höhe, die abgeglitten und wieder aufgestiegen wird

t_gl = Zeit des Gleitens

t_si = Zeit des Steigens

t = Gesamtzeit

(1)	$v_\mathrm{Reise} = \frac{E}{t}$	Reisegeschwindigkeit = Entfernung / Zeit
(2)	t = tgl + tst	Gesamtzeit = Vorflugzeit + Steigzeit
(3)	$H = t_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{si}$	Höhe = Vorflugzeit * Sinken
(4)	$H = t_\mathrm{st} \cdot v_\mathrm{st}$	Höhe = Steigzeit * Steiggeschwindigkeit
	$t_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{si} = t_\mathrm{st} \cdot v_\mathrm{st}$	(3) mit (4) gleichsetzen
$\Rightarrow$ (5)	$t_\mathrm{st} = \frac{t_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{si}}{v_\mathrm{st}}$	Nach Steigzeit auflösen
(6)	$t_\mathrm{gl} = \frac{E}{v_\mathrm{gl}}$	Gleitzeit = Entfernung / Fluggeschwindigkeit
(7)	$t_\mathrm{st} = \frac{E \cdot v_\mathrm{si}}{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}}$	(6) in (5) einsetzen
	$t = \frac{E}{v_\mathrm{gl}} + \frac{E \cdot v_\mathrm{si}}{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}}$	(6) und (7) in (2) einsetzen
$\Rightarrow$ (8)	$t = E \cdot (\frac{v_\mathrm{st} + v_\mathrm{si}}{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}})$	Gesamtzeit
(9)	$v_\mathrm{Reise} = \frac{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}}{v_\mathrm{st} + v_\mathrm{si}}$	(8) in (1) einsetzen

Die Gleichung (9) gilt für jede geflogene Geschwindigkeit und jedes Flugzeugsinken.

Die optimale Vorfluggeschwindigkeit

v_gl = Fluggeschwindigkeit (Gleiten)

v_si = Sinkgeschwindigkeit (positive Zahl!)

v_st = (Erwartete) Steiggeschwindigkeit im Aufwind

v_met = Meteorologische Bewegung der Luftmasse (Steigen/Sinken) beim Gleiten

t_gl = Zeit des Gleitens

t_si = Zeit des Steigens

t = Gesamtzeit

(1)	t = tgl + tst	Gesamtzeit = Vorflugzeit + Steigzeit
(2)	$t = \frac{E}{v_\mathrm{gl}} + \frac{H}{v_\mathrm{st}}$	Zeiten durch Quotienten aus Strecke und Geschwindigkeit ersetzen
(3)	$H = \frac{v_\mathrm{si} + v_\mathrm{met}}{v_\mathrm{gl}} \cdot E$	Der Höhenverlust ergibt sich aus der Summe Sinken (Meteorologisch + Flugzeug) durch Geschwindigkeit * Entfernung.
	$t = \frac{E}{v_\mathrm{gl}} + \frac{(v_\mathrm{si} + v_\mathrm{met}) \cdot E}{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}}$	(3) in (2) einsetzten.
$\Rightarrow$ (4)	$t = E \cdot (\frac{1}{v_\mathrm{gl}} + \frac{v_\mathrm{si} + v_\mathrm{met}}{v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st}})$	Dies ist Gesamtzeit als Funktion der (Vorflug-) Geschwindigkeit. Um jetzt das Optimum zu ermitteln, differenziert man diese Gleichung nach der Geschwindigkeit und setzt diese gleich Null.
(5)	$\frac{{d}t}{{d}v_\mathrm{gl}} = E \cdot (-\frac{1}{v_\mathrm{gl}^2} + \frac{\frac{{d}v_\mathrm{si}}{{d}v_\mathrm{gl}} \cdot v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st} - (v_\mathrm{si} + v_\mathrm{met}) \cdot v_\mathrm{st}}{(v_\mathrm{gl} \cdot v_\mathrm{st})^2})$	Die Entfernung ist immer ungleich Null, also muss der geklammerte Ausdruck Null werden.
$\Rightarrow$	$-1 + \frac{\frac{{d}v_\mathrm{si}}{{d}v_\mathrm{gl}} \cdot v_\mathrm{gl} - v_\mathrm{si} - v_\mathrm{met}}{v_\mathrm{st}} = 0$	Dieses Ergebnis kann man auch als Verhältnisgleichung hinschreiben.
(6)	$\frac{{d}v_\mathrm{si}}{{d}v_\mathrm{gl}} \cdot v_\mathrm{gl} = v_\mathrm{si} + v_\mathrm{met} + v_\mathrm{st}$	Die sogenannte Sollfahrtgleichung.

Ermittlung der optimalen Vorfluggeschwindigkeit

Der Term v_si + v_met + v_st kann als Punkt auf der Y-Achse aufgetragen werden. Die Optimale Geschwindigkeit erhält man durch das Anlegen einer Tangente an die Flugzeugpolare. Dies wird durch den Term auf der linken Seite von Gleichung (6) ausgedrückt. An der Y-Achse kann die ermittelte, optimale Fahrt abgelesen werden.

Die Praxis läuft etwa so ab: Der Pilot schätzt zunächst die Stärke des nächsten Aufwindes und stellt diese Größe an seinem Sollfahrtgeber (meist im Variometer integriert) ein. Während des Gleitfluges variiert er die Geschwindigkeit in Abhängigkeit der meteorologischen Auf- und Abwinde (v_met) nach den Vorgaben des Sollfahrtgebers. Wenn die Luftmasse sinkt, fliegt der Pilot schneller, wenn sie steigt, langsamer. Durch diese Vorgehensweise optimiert er seine Geschwindigkeit und kommt insgesamt schneller zum Ziel. Ein Segelflieger, Paul McCready, erfand dazu einen drehbaren Ring, der auf das Variometer aufgesteckt wird. Man kann die optimale Geschwindigkeit damit direkt ablesen. Paul McCready gewann im Jahr 1956 die Segelflug-Weltmeisterschaft ^[1].

Näherungsweise Berechnung der optimalen Vorfluggeschwindigkeit

Die Geschwindigkeitspolare des Flugzeugs stellt den Zusammenhang zwischen Fluggeschwindigkeit und der Eigensinkgeschwindigkeit des Flugzeugs dar. Die Polare kann durch eine quadratische Funktion angenähert werden. Durch das Einsetzen der Näherungsgleichung in die Sollfahrtgleichung, kann die optimale Fahrt einfach berechnet werden.

v_gl = Fluggeschwindigkeit (Gleiten)

v_si = Sinkgeschwindigkeit (positive Zahl!)

v_st = (Erwartete) Steiggeschwindigkeit im Aufwind

v_met = Meteorologische Bewegung der Luftmasse (Steigen/Sinken) beim Gleiten

a,b,c = Koeffizienten der quadratischen Funktion, sie hängen vom Flugzeugtyp und der Flächenbelastung ab.

(1)	$v_\mathrm{si} = a \cdot v_\mathrm{gl}^2 + b \cdot v_\mathrm{gl}+c$	Flugzeugpolare, genähert
(2)	$v_\mathrm{si}' = 2 \cdot a \cdot v_\mathrm{gl} + b$	Die Näherungsgleichung differenziert nach der Geschwindigkeit.
	$(2 \cdot a \cdot v_\mathrm{gl} + b) \cdot v_\mathrm{gl} = a \cdot v_\mathrm{gl}^2 + b \cdot v_\mathrm{gl} + c + v_\mathrm{met} + v_\mathrm{st}$	(1) und (2) wurden in die Gleichung (6) des vorhergehenden Kapitels (Die optimale Vorfluggeschwindigkeit) eingefügt.
$\Rightarrow$	$2 \cdot a \cdot v_\mathrm{gl}^2 + b \cdot v_\mathrm{gl} = a \cdot v_\mathrm{gl}^2 + b \cdot v_\mathrm{gl} + c + v_\mathrm{met} + v_\mathrm{st}$
$\Rightarrow$	$a \cdot v_\mathrm{gl}^2 = c + v_\mathrm{met} + v_\mathrm{st}$
$\Rightarrow$ (3)	$v_\mathrm{gl} = \sqrt{\frac{c + v_\mathrm{met} + v_\mathrm{st}}{a}}$	Die optimale Fahrt (Sollfahrt) als Funktion der Koeffizienten a und c sowie der meteorologischen Luftbewegung während des Gleitens und der erwarteten Stärke des nächsten Aufwindes.

Quellen

• Reichmann, Helmut - Streckensegelflug, Motorbuchverlag, Stuttgart 2005, ISBN 3-613-02479-9
• John Cochrane - Ein bisschen schneller bitte, Deutsche Übersetzung, Original (Englisch)
• Vogt, Matthias- Vortrag zur McCready Theorie, Powerpoint

Einzelnachweise

1. ↑ Liste der Segelflugweltmeister der FAI