- Stack (Kategorientheorie)
-
In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.
Für einen topologischen Raum X sei
die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen
sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen
sind, so dass
gilt.
- Eine Prägarbe über X in einer Kategorie
ist ein kontravarianter Funktor
. Für jeden Morphismus
und ein Pullback
-
U2 U U V
bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm
(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks
-
D
gibt es einen eindeutigen Morphismus
in der Kategorie
.
- Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe
lautet: Für jedes
ist der Morphismus
ein Isomorphismus.
Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie
zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.
Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:
- Eine gefaserte Kategorie über X in einer 2-Kategorie
ist ein kontravarianter 2-Funktor
.
- Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie
lautet: Für jeden 1-Morphismus
ist der Funktor
eine Äquivalenz von Kategorien.
- Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.
Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie Präschober heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.
Literatur
- Ieke Moerdijk: arxiv.org/math.AT/0212266 Introduction to the language of stacks and gerbes. University of Utrecht, 2002 (englisch)
- Eine Prägarbe über X in einer Kategorie
Wikimedia Foundation.