Stack (Kategorientheorie)

In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum X sei $\mathfrak{Cov}(X)$ die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen $j:U \to X$ sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen $i:U_1 \to U_2$ sind, so dass $j_1 = j_2 \circ i$ gilt.

• Eine Prägarbe über X in einer Kategorie $\mathfrak{C}$ ist ein kontravarianter Funktor $\mathcal{F}:\mathfrak{Cov}(X) \to \mathfrak{C}$. Für jeden Morphismus $i: U \to V$ und ein Pullback

U2	$\to$	U
$\downarrow$		$\downarrow$
U	$\to$	V

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

$\mathcal{F}(V)$	$\to$	$\mathcal{F}(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
$\mathcal{F}(U)$	$\to$	$\mathcal{F}(U^2)$

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

D	$\to$	$\mathcal{F}(U)$
$\downarrow$		$\downarrow$
$\mathcal{F}(U)$	$\to$	$\mathcal{F}(U^2)$

gibt es einen eindeutigen Morphismus $\mathrm{Des}(i,\mathcal{F}): \mathcal{F}(V) \to D$ in der Kategorie $\mathfrak{C}$.

• Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe $\mathcal{F}$ lautet: Für jedes $i:U \to V$ ist der Morphismus $\mathrm{Des}(i,\mathcal{F})$ ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie $\mathfrak{Cov}(X)$ zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

• Eine gefaserte Kategorie über X in einer 2-Kategorie $\mathfrak{C}$ ist ein kontravarianter 2-Funktor $\mathcal{F}: \mathfrak{Cov}(X) \to \mathfrak{C}$.
• Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie $\mathcal{F}$ lautet: Für jeden 1-Morphismus $i:U \to V$ ist der Funktor $\mathrm{Des}(i,\mathcal{F})$ eine Äquivalenz von Kategorien.
• Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie Präschober heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur

• Ieke Moerdijk: arxiv.org/math.AT/0212266 Introduction to the language of stacks and gerbes. University of Utrecht, 2002 (englisch)