Steigungsdreieck

Eine Geradengleichung ist eine Gleichung in der Mathematik, die eine Gerade eindeutig beschreibt.

Die Abbildung rechts zeigt eine Gerade g durch zwei gegebene Punkte P und Q in einem kartesischen Koordinatensystem. Durch zwei voneinander verschiedene Punkte lässt sich in der euklidischen Geometrie immer genau eine Gerade konstruieren.

Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene

In einem kartesischen Koordinatensystem werden jedem Punkt P der Ebene zwei Zahlen x und y als Koordinaten zugeordnet. Man schreibt P(x | y) oder P = (x | y). Eine Gleichung mit den Variablen x und y beschreibt dann eine Menge von Punkten in der Ebene und zwar die Menge aller Punkte, deren x- und y-Koordinate die Gleichung erfüllen, vgl. Analytische Geometrie.

Lineare Funktionen

Jede Gerade, die nicht parallel zur y-Achse ist, ist der Graph einer linearen Funktion

f(x) = mx + b, bzw. f(x) = kx + d (vor allem in Österreich verwendet)

wobei m und b reelle Zahlen sind. Sie besteht also aus allen Punkten (x | y) mit y = f(x) = mx + b. Die zugehörige Geradengleichung lautet also:

y = mx + b (in Österreich y = kx + d)

Die Schreibweise

$g\colon \ y = mx + b$

bedeutet: „g ist die Gerade aus allen Punkten (x | y) mit y = mx + b“, in Mengenschreibweise:

$g = \{(x|y) \mid y = mx + b\}$

Umgekehrt ist jede Funktion, deren Graph eine Gerade ist, linear.

Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, sind keine Schaubilder von Funktionen. Sie lassen sich durch eine Gleichung der Form

$g:\;x = a$,

wobei a eine reelle Zahl ist, darstellen. Die Gerade mit der Gleichung x = a schneidet die x-Achse im Punkt (a | 0).

Geometrische Bedeutung der Gleichung

Die Parameter m und b der Geradengleichung

$g:\;y = m\cdot x + b$

haben eine geometrische Bedeutung. Die Zahl m ist die Steigung der Geraden, b ist der y-Achsenabschnitt (im Bild als n bezeichnet), d. h. die Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0 | b). Ist b = 0, so verläuft die Gerade durch den Ursprung des Koordinatensystems. Die zugehörige Funktion ist dann eine Proportionalität.

Die Gerade mit der Gleichung y = mx + b erhält man aus der Geraden mit der Gleichung y = mx, indem man sie um b in Richtung der y-Achse verschiebt. (Nach oben, wenn b positiv ist, nach unten, wenn b negativ ist.)

Ein Punkt P mit der x-Koordinate x hat eine y-Koordinate, die sich aus b und m · x zusammensetzt. Die Steigung m ist die senkrechte Kathete des (blau gefärbten) Steigungsdreiecks, dessen waagrechte Kathete 1 ist. Wird diese auf das x-fache vergrößert (gelbes Dreieck), so vergrößert sich auch die senkrechte Kathete auf das x-fache (Strahlensatz), also m · x. Zusammen mit dem Achsenabschnitt b (im Bild als n bezeichnet) folgt für die y-Koordinate:

$y = m\cdot x + b$,

im Beispiel:

$g:y = \frac{1}{2} \cdot x + 2$.

(mit m = 0.5 und b = n = 2)

Zweipunkteform

Sei g die Gerade, die durch die zwei Punkte P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂) verläuft, wobei x₁ und x₂ verschieden seien. Dann kann die Steigung m von g mit Hilfe des Differenzenquotienten folgendermaßen errechnet werden:

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Nach dem Strahlensatz gilt für einen beliebigen anderen Punkt P(x|y)

$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y - y_1}{x - x_1}$,

also erhält man die Gleichung

$g\colon \ \frac{y - y_1}{x - x_1}= \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

bzw. äquivalent dazu, indem man die Gleichung nach y auflöst:

$g\colon\;y = y_1 + \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.

Im Beispiel ist

$m = \frac{3 - 1}{2 - (-2)}=\frac{2}{4} = \frac 12$,

und man erhält als Geradengleichung

$g:\;\frac{y - 1}{x + 2} = \frac 12$

bzw.

$y = 1 + \frac 12 (x+2)$

Punkt und Steigung (Einpunktform)

Eine Gerade durch den Punkt P(x_p | y_p) mit der Steigung m wird durch folgende Gleichung beschrieben:

$y - y_p = m \cdot (x - x_p)$.

Diese Formel kann auch benutzt werden, wenn zwei Punkte bekannt sind, aber man den Schnittpunkt mit der y-Achse (oben b genannt) nicht explizit bestimmen will.

Achsenabschnittsform

Schneidet die Gerade die x-Achse im Punkt (a | 0) und die y-Achse im Punkt (0 | b), wobei a und b nicht 0 seien, so lässt sich die Gleichung der Geraden in der Form

$\frac xa + \frac yb = 1$

schreiben. Diese Form heißt Achsenabschnittsform der Geradengleichung, mit dem x-Achsenabschnitt a und dem y-Achsenabschnitt b. Löst man die Gleichung nach y auf, so erhält man:

$y = -\frac ba x + b$

Geometrische Formen

In der analytischen Geometrie gibt es noch weitere Formen der Geradengleichung, die auch Geraden, die parallel zur y-Achse verlaufen, darstellen können.

Parameterform (Punktrichtungsform)

Es gibt auch die Möglichkeit, eine Gerade mit Hilfe der Vektorrechnung zu beschreiben.

$g:\;\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u$

$\vec r_0$ ist der Ortsvektor eines fixen Punktes (z. B. P₀),

$\vec u$ ist der Richtungsvektor,

λ ist ein Skalar und gibt an, wie lange in diese Richtung gezählt wird.

Das Beispiel würde dann so aussehen:

$g:\;\vec r={-2 \choose 1} + \lambda \cdot {3 \choose 1,5}.$

λ bildet hierbei die Koordinate eines affinen Koordinatensystems auf der Geraden, d. h. die Gerade wird (mit dem Nullpunkt bei P₀) mit den Werten von λ beziffert (im Bild grün gekennzeichnet).

Normalform

Mit einem Normalenvektor $\vec n$, der im rechten Winkel zur Geraden steht, lässt sich die Gerade in Normalform (auch Normalenform) schreiben:

$\vec r \cdot \vec n - c = 0$ oder $\vec r \cdot \vec n = c$.

Darin ist c eine Konstante und $\cdot$ das Skalarprodukt. Diese Darstellung beruht auf der Eigenschaft des Skalarproduktes, nach dem

$\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cdot cos(\alpha)$ mit $\alpha = \angle ( \vec a , \vec b )$.

ist. Nun setzt sich der Ortsvektor $\vec r$ eines beliebigen Punktes P(x|y) stets aus dem Vektor $\vec r_p$ parallel zur Geraden und dem Vektor $\vec r_s$ senkrecht zu der Geraden durch Vektoraddition zusammen:

$\vec r = \vec r_s + \vec r_p$.

Aus den Eigenschaften der Kosinusfunktion ergibt sich, dass stets

$\vec r_p \cdot \vec n = |\vec r_p| \cdot |\vec n| \cdot \cos (90^\circ) = 0$

und

$\vec r_s \cdot \vec n = |\vec r_s| \cdot |\vec n| \cdot \cos (0^\circ) = |\vec r_s| \cdot |\vec n| = c$

ist. Da $\vec r_s$ für alle Punkte der Geraden gleich ist, ist dieses Produkt konstant. Somit ist

$\vec r \cdot \vec n = ( \vec r_s + \vec r_p ) \cdot \vec n = \vec r_s \cdot \vec n + \vec r_p \cdot \vec n = c + 0 = c$.

Wenn ${v_1 \choose v_2}$ der Richtungsvektor einer zweidimensionalen Geraden ist, so ist jedes Vielfache von ${-v_2 \choose v_1}$ ein Normalenvektor. Im Beispiel ist

$\vec n = {-1 \choose 2}$

c ergibt sich durch Einsetzen der Koordinaten eines beliebigen Punktes, der auf der Geraden liegt, z. B. mit dem Punkt P(4|4):

$c = \vec n \cdot \vec r = {-1 \choose 2} \cdot {4 \choose 4} = -4 + 8 = 4$.

(Jeder andere Punkt der Geraden führt zum gleichen Ergebnis) Folglich lautet die Normalform der Geraden:

$g:\;\vec r \cdot {-1 \choose 2} = 4$.

Gerade im Raum

Geraden im Raum lassen sich nicht in der Normalenform darstellen, da sie weder Achsenabschnitte noch einen eindeutig bestimmten Normalenvektor besitzen (zu einer Geraden im Raum gibt es unendlich viele auf ihr senkrecht stehende Richtungen). Gebräuchlich ist die oben vorgestellte Parameterform

$g:\;\vec r = \vec r_0 + \lambda \cdot \vec u$

wobei $\vec r$, $\vec r_0$ und $\vec u$ nun Vektoren im Raum sind. Mit Hilfe des Vektorprodukts lässt sich noch eine andere, parameterfreie Geradenform konstruieren, die Determinantenform

$g:\;\vec u \times \vec r - \vec u \times \vec r_0 = \vec 0.$

$\vec r_0$ ist wiederum der Ortsvektor eines fixen Punktes und $\vec u$ der Richtungsvektor. Da die Differenz $\vec r - \vec r_0$ des Ortsvektors $\vec r$ jedes beliebigen Punktes der Geraden und dem Stützvektor $\vec r_0$ kollinear zum Richtungsvektor $\vec u$ sein muss (also in dieselbe oder in die entgegengesetzte Richtung zeigt), ergibt das Vektorprodukt der beiden immer den Nullvektor:

$\vec u \times (\vec r - \vec r_0) = \vec 0.$

Ausmultipliziert erhält man die obige Geradenform. Für jeden Vektor $\vec r$, der Ortsvektor eines Punktes der Geraden ist, trifft die Gleichung zu, in allen anderen Fällen ergibt sich nicht der Nullvektor. Ist $\vec u$ ein Einheitsvektor, so entspricht

$|\vec u \times \vec r_0|$

genau dem Abstand der Geraden vom Ursprung (Länge der kürzesten Verbindung zwischen Ursprung und Gerade).

Siehe auch

• Hessesche Normalform