Lineares Wachstum

Der Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen bedeutet lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung. Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z. B. in der Differentialgeometrie, wobei es sich um lineare Abbildungen von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.

Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine Abbildung der Form

$f:\quad\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R}$,

also ein Polynom erster Ordnung, bezeichnet. Eine solche Funktion wird auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt, siehe auch bei Geradengleichung. Im mathematisch strengen Sinn handelt es sich dabei jedoch um eine affine Abbildung. Für den Spezialfall n = 0 wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet.

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten (x,y) erfüllen solche Geraden also die Gleichung

$y = m\;x + b$,

wobei x (die Abszisse) unabhängige und y (die Ordinate) abhängige Variablen sind.
(Manchmal werden auch andere Benennungskonventionen verwendet, z. B. f(x) = ax + b, f(x) = mx + c, f(x) = mx + n, f(x) = mx + t oder y = ax + b. In Österreich wird häufig y = kx + d verwendet, in der Schweiz hingegen y = mx + q.)

Diese Form bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre Komponenten lassen sich wie folgt interpretieren:

• Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
• Die Zahl b ist die Inhomogenität, der Koordinatenabschnitt, die Verschiebungskonstante oder der y-Achsenabschnitt.

Übrigens kann der Graph einer linearen Funktion niemals parallel zur y-Achse verlaufen, da sonst einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet wären. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte (x₁ | y₁) und (x₂ | y₂) auf dem Graphen der linearen Funktion f liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung m lässt sich errechnen aus

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Der y-Achsenabschnitt b ergibt sich aus

$b = y_1 - m \cdot x_1$. bzw. :$b = y_2 - m \cdot x_2$.

Der gesuchte Funktionsterm f(x) ist also gegeben durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)$

oder einfacher durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1$.

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f\,$ mit $f(x)=a_1x+a_0\,$ heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Der Funktiongraph stellt eine Gerade dar.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y-Achse: $P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)\,$

Schnittpunkt mit der x-Achse: $P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0\,$

Steigung

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)\,$ mit $f(x)=a_1x+a_0\,$ lässt sich am Koeffizienten $a_1\,$ ablesen.

Berechnet wird sie mit:

$a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}=\frac{\Delta y} {\Delta x}=\tan\alpha\,$ In Kurzform: $a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\,$

Funktionsgleichung aufstellen

• Die Steigung a₁ = a und ein Punkt P₁(x₁ | y₁), der auf der Geraden liegt, seien bekannt.

Ansatz: f(x) = ax + a₀

$P_1(x_1|y_1) \quad :\Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Leftrightarrow \quad ax_1 + a_0 = y_1 \quad \Leftrightarrow \quad a_0 = y_1 - ax_1$

• Die Koordinaten zweier Punkte P₁(x₁ | y₁) und P₂(x₂ | y₂), die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: $a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1} \quad \Rightarrow \quad f(x)=a_1x+a_0$

$P_1(x_1|y_1) \quad :\Rightarrow \quad f(x_1) = y_1 \quad \Leftrightarrow \quad ax_1 + a_0 = y_1 \quad \Leftrightarrow \quad a_0 = y_1 - ax_1$

oder

$P_2(x_2|y_2) \quad :\Rightarrow \quad f(x_2) = y_2 \quad \Leftrightarrow \quad ax_2 + a_0 = y_2 \quad \Leftrightarrow \quad a_0 = y_2 - ax_2$

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0 \Rightarrow x_s\,$ x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.

$y_s=f(x_s)=g(x_s) \Rightarrow S(x_s|y_s)\,$ als Schnittpunkt der beiden Geraden.

Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden g₁ und g₂ gilt:

$a_1 \cdot a_2=-1\,$ bzw. $a_1=-\frac{1} {a_2}\,$ bzw. $a_2=-\frac{1} {a_1}\,$

Beispiel

Zwei verschiedene Telefongesellschaften A und B bieten für das gleiche Handy verschiedene Tarife an. Gesellschaft A bietet den folgenden Vertrag: 20 € monatliche Grundgebühr und jede angefangene Minute 0,07 € an Telefonie. Gesellschaft B jedoch: 10 € Grundgebühr und dafür aber 0,10 € pro angefangener Minute.

Die Angebote der Gesellschaften werden in zwei mathematische Gleichungen ausgedrückt: für A: y = 0,07x + 20 und für B: y = 0,10x + 10

x sind die jeweiligen abtelefonierten Minuten und y ist der zu zahlende Rechnungsbetrag am Ende eines Monats. Anhand der Gleichungen würden erfahrene Menschen sofort sehen, welche ab wann günstiger ist. Doch am klügsten wäre es jetzt, die Gleichungen gleichzusetzen.

Wir nennen die Gleichung von A f(x) und die Gleichung von B g(x). Daraus folgt, dass f(x) = g(x) ist und so können wir die Gleichungen gleichsetzen und erhalten das Folgende:

$0{,}07x + 20 = 0{,}10x + 10 \quad \Leftrightarrow \quad 0{,}07x + 10 = 0{,}10x \quad \Leftrightarrow \quad 10 = 0{,}03x \quad \Leftrightarrow \quad x = 333\tfrac 13$

Anhand dieses Ergebnisses können wir y ausrechnen und nehmen dazu eine beliebige Gleichung, hier g(x):

$y = 0{,}10x + 10 \quad \Leftrightarrow \quad y= 0{,}10 \cdot 333\tfrac 13 + 10 \quad \Leftrightarrow \quad y= 33\tfrac 13 + 10 \quad \Leftrightarrow \quad y= 43\tfrac 13 \approx 43{,}33$

In dem wir nun x und y ausgerechnet haben, wissen wir, wo sich diese zwei Geraden schneiden, nämlich im Schnittpunkt S (333,33|43,333). Dies ist aber nur hilfreich, wenn wir diese Geraden zeichnen könnten. Für den nicht-zeichnerischen Gebrauch sehen wir uns einfach die x- und y-Werte an:

Wir wissen nun, dass uns bei beiden Anbietern 333,33 Minuten den gleichen Betrag von 43,33 € kosten würden. Die eigentliche Frage, die sich uns stellt, ist: Wie sieht es mit Minutenzahlen unter und über 333,33 aus?

1. Fall: Bei unter 333,33 Minuten - wo ist es günstiger und wo teurer? Bei Anbieter A für 300 Minuten: $y = 0{,}07 \cdot 300 + 20$ und ausgerechnet: y = 41 [€]

und bei Anbieter B für 300 Minuten: $y = 0{,}10 \cdot 300 + 10$ und ausgerechnet: y = 40 [€]

Daraus ergibt sich: Bei einer Minutenanzahl unter 333,33 Minuten, die bei beiden gleich kostet, lohnt es sich mehr beim Anbieter B.

2. Fall: Bei über 333,33 Minuten - wo ist es günstiger und wo teurer? Bei Anbieter A für 340 Minuten: $y = 0{,}07 \cdot 340 + 20$ und somit ist y = 43,80 [€]

und bei Anbieter B für 340 Minuten: $y = 0{,}10 \cdot 340 + 10$ und somit ist y = 44 [€]

Daraus ergibt sich: Bei einer Minutenanzahl von über 333,33 Minuten, die bei beiden gleich kostet, lohnt es sich mehr beim Anbieter A.

Dies ist nur ein winziges Beispiel aus dem Alltag, in dem lineare Funktionen hilfreich sein können.

Weiteres Beispiel

Den Zusammenhang zwischen Umfang u und Radius r eines Kreises beschreibt die lineare Funktion

$\; u = 2 \pi r$

Da der Achsenabschnitt null ist, handelt es sich hierbei sogar um eine Proportionalität. Für das Steigungsdreieck gilt dann entsprechend:

$\; \Delta u = 2 \pi \Delta r$    oder    $\Delta r = \frac{\Delta u}{2 \pi}$

Eine oft gestellte Denksportaufgabe setzt nun voraus, dass man ein Seil um den Äquator gespannt hat, also ca. 40.000 km lang, und dieses dann um nur einen Meter verlängert und das Seil gleichmäßig überall entsprechend von der Erdoberfläche abhebt. Die Frage lautet dann, ob man anschließend einen Tennisball unter dem Seil durchschieben kann. Das Gefühl sagt einem, dass der Effekt so klein sein sollte, dass das Seil sich kaum merkbar vom Boden heben sollte.

Die obige Funktion sagt aber, dass das Steigungsdreieck überall entlang der Geraden gleich ist, also überall eine Verlängerung der Umfangslinie um Δu eine Vergrößerung des Radius um Δr bewirken muss. Wenn Δu=1 m ist, ergibt sich demnach Δr zu etwa 15 cm. Der Tennisball passt also tatsächlich unter dem Seil hindurch.

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von $f\left(x\right)=mx+n$ ist $f'\left(x\right)=m$, also immer eine konstante Funktion (Eine lineare Funktion lässt sich auch als Funktion mit konstanter Ableitung definieren), da die Ableitung die Steigung der Tangente im Punkt $P(x|f\left(x\right))$ angibt.

Eine Stammfunktion von $f\,$ ist $F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx$. Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

$F'(x)=\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=\frac{m}{2}\left(x^2\right)'+n\left(x\right)'=\frac{m}{2}2x+n=mx+n=f(x)$

Siehe auch

• Proportionalität
• Linearität

Weblinks

• Rechner und Theorie zur linearen Funktion