Stufe (Algebra)

Die Stufe s(F) eines nicht-reellen Körpers F ^[1] ist definiert als die kleinste Anzahl von Quadraten, deren Summe -1 ergibt, formaler durch

$s(F):= \min\left\{ k\in\Bbb N \;\Big|\; -1 \in \sum^k F^2 \right\}$

wobei

$\sum^k F^2:= \left\{ \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \;\Big|\; n\leq k, a_1, \ldots, a_n \in F \text{ und } \sum_{i=1}^{n} a_i^2 \neq 0 \right\}$

die Menge der Quadratsummen der Länge höchstens k sind.

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Es gelten die folgenden Aussagen:

Satz: Für einen nicht-reellen Körper F gilt s(F) = 2^k für ein $k \in \Bbb N$.

Beweis: Sei $k \in \Bbb N$ so, dass $2^k \leq s(F) < 2^{k+1}$. Setze n = 2^k und betrachte die quadratische Pfisterform $\varphi = n \cdot \langle1\rangle = \langle\!\langle 1, \ldots, 1 \rangle\!\rangle$. ^[2]

Nach Voraussetzung existieren s = s(F) viele Elemente $e_1, \ldots, e_s \in F\setminus\{0\}$, so dass

$0 = \underbrace{1 + e_1^2 + \ldots + e_{n-1}^2 }_{=: a} + \underbrace{e_n^2 + \ldots + e_s^2}_{=: b}$

Dann werden sowohl a als auch b von φ dargestellt und es ist $a \neq 0$ (denn sonst wäre im Widerspruch zur Annahme die Stufe von F kleiner als 2^k).

Da Pfisterformen multiplikativ sind, gilt $ab = c_1^2 + \ldots + c_n^2$ für gewisse $c_i \in F$. Da aber andererseits a + b = 0, gilt auch − a² = ab, also gilt

$-1 = \frac{ab}{a^2} = \left(\frac{c_1}{a} \right)^2 + \ldots +\left(\frac{c_n}{a} \right)^2$

und somit s(F) = n = 2^k   $\blacksquare$

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Satz: $s(f) \leq 2$ für alle Körper F mit positiver Charakteristik.

Beweis: Sei p = char(F). Es genügt offensichtlich, die Aussage für $\Bbb F_p$ zu zeigen.

Falls p = 2 ist wegen − 1 = 1 = 1² alles klar.

Im Falle p > 2 betrachte die Menge $S=\{x^2\mid x\in\Bbb F_p\}$ der Quadrate. Es ist $S\setminus\{0\}$ eine Untergruppe vom Index 2 in der (p − 1)-elementigen zyklischen Gruppe $\Bbb F_p^\times$. Insgesamt enthält also S genau $\tfrac{p+1}2$ Elemente. Ebenso enthält − 1 − S genau $\tfrac{p+1}2$ Elemente. Da $\Bbb F_p$ insgesamt nur p Elemente hat, können S und − 1 − S nicht disjunkt sein, d.h. es gibt $x,y\in\Bbb F_p$ mit $S\ni x^2=-1-y^2\in-1-S$ bzw. − 1 = x² + y².  $\blacksquare$

Bemerkungen

1. ↑ In einem nicht-reellen Körper kann die -1 als Summe von Quadraten dargestellt werden.
2. ↑ Zur Theorie der quadratischen Form, siehe etwa F. Lorenz, Quadratische Formen über Körpern, Springer, 1970.