Sturm-Liouville-Theorie

In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die Lösungen mittels eines linearen Integraloperators darzustellen, der eine Greensche Funktion des Problems als Kern hat.

Differentialgleichungen der Form

$L \psi = -A \cdot \psi'' - B \cdot \psi' + C \cdot \psi = \lambda \cdot \psi$

sind dem verallgemeinerten Eigenwertproblem

$w L \psi = -\left( p \cdot \psi' \right)' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi$

äquivalent, worin $p = w \cdot A,\; q = w \cdot C$ gesetzt ist und w(x) eine exponentielle Gewichtsfunktion ist, d.h. auf dem Definitionsintervall streng positiv ist.

lineare Operatoren der Form

$L = -\frac{d}{dx} \, p\, \frac{d}{dx} +w$

werden Sturm-Liouville-Operatoren genannt.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

$L \psi = -(p \cdot \psi')' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi$

mit glatten reellen Funktionen p(x),q(x),w(x) zusammen mit Randbedingungen der Form

$\alpha_1 \cdot \psi(a) + \alpha_2 \cdot \psi'(a) = 0,\quad \beta_1 \cdot \psi(b) + \beta_2 \cdot \psi'(b) = 0$

(mit $\alpha_i, \beta_i \in \mathbb{R}, |\alpha_1|+|\alpha_2| \neq 0,\; |\beta_1|+|\beta_2| \neq 0)$ nennt man ein „reguläres Sturm-Liouville-Problem“ über dem Intervall [a,b], wenn dieses Intervall endlich ist und

$p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b] \quad \mathrm{sowie} \quad w(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b]$

gilt.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Ist das Intervall unendlich oder gilt

$p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in (a,b) \mathrm{und}\; p(a)=0 \; \mathrm{und/oder} \; p(b)=0$

oder verschwindet das Gewicht w(x) an einigen Punkten oder ersetzt man eine oder beide der Randbedingungen durch

$\lim_{x \to a,\; x>a}\psi(x)\; \mathrm{existiert}\quad \mathrm{bzw.}\quad \lim_{x\to b,\; x<b}\psi(x)\; \mathrm{existiert}$

(oder einer ähnlichen Bedingung), so spricht man von einem „singulären Sturm-Liouville-Problem“.

Eigenschaften und Anwendungen

siehe Kai Gehrs, Sturm-Liouville-Probleme

Literatur

Weidmann, Joachim: Lineare Operatoren in Hilberträumen / Teil 2. Anwendungen. 1. Aufl. Auflage. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0.