Sturm-Liouville-Theorie

Sturm-Liouville-Theorie

In der Analysis handelt es sich bei dem Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville und Charles-François Sturm) um ein spezielles Randwertproblem, welches mit Methoden der Variationsrechnung behandelt werden kann. Dadurch ist es möglich, die Lösungen mittels eines linearen Integraloperators darzustellen, der eine Greensche Funktion des Problems als Kern hat.

Differentialgleichungen der Form

L \psi = -A \cdot \psi'' - B \cdot \psi' + C \cdot \psi = \lambda \cdot \psi

sind dem verallgemeinerten Eigenwertproblem

 w L \psi = -\left( p \cdot \psi' \right)' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi

äquivalent, worin p = w \cdot A,\; q = w \cdot C gesetzt ist und w(x) eine exponentielle Gewichtsfunktion ist, d.h. auf dem Definitionsintervall streng positiv ist.

lineare Operatoren der Form

 L = -\frac{d}{dx} \, p\, \frac{d}{dx} +w

werden Sturm-Liouville-Operatoren genannt.

Inhaltsverzeichnis

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme

Die Eigenwertgleichung

L \psi = -(p \cdot \psi')' + q \cdot \psi = \lambda \cdot w \cdot \psi

mit glatten reellen Funktionen p(x),q(x),w(x) zusammen mit Randbedingungen der Form

\alpha_1 \cdot \psi(a) + \alpha_2 \cdot \psi'(a) = 0,\quad \beta_1 \cdot \psi(b) + \beta_2 \cdot \psi'(b) = 0

(mit \alpha_i, \beta_i \in \mathbb{R}, |\alpha_1|+|\alpha_2| \neq 0,\; |\beta_1|+|\beta_2| \neq 0) nennt man ein „reguläres Sturm-Liouville-Problem“ über dem Intervall [a,b], wenn dieses Intervall endlich ist und

p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b] \quad \mathrm{sowie} \quad w(x)\!>\!0\ \forall\ x \in [a,b]

gilt.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme

Ist das Intervall unendlich oder gilt

p(x)\!>\!0\ \forall\ x \in (a,b) \mathrm{und}\; p(a)=0 \; \mathrm{und/oder} \; p(b)=0

oder verschwindet das Gewicht w(x) an einigen Punkten oder ersetzt man eine oder beide der Randbedingungen durch

\lim_{x \to a,\; x>a}\psi(x)\; \mathrm{existiert}\quad \mathrm{bzw.}\quad \lim_{x\to b,\; x<b}\psi(x)\; \mathrm{existiert}

(oder einer ähnlichen Bedingung), so spricht man von einem „singulären Sturm-Liouville-Problem“.

Eigenschaften und Anwendungen

siehe Kai Gehrs, Sturm-Liouville-Probleme

Literatur

Weidmann, Joachim: Lineare Operatoren in Hilberträumen / Teil 2. Anwendungen. 1. Aufl. Auflage. Teubner, Stuttgart; Leipzig; Wiesbaden 2003, ISBN 3-519-02237-0. 


Wikimedia Foundation.

Schlagen Sie auch in anderen Wörterbüchern nach:

  • Theorie de Sturm-Liouville — Théorie de Sturm Liouville La théorie de Sturm Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette… …   Wikipédia en Français

  • Théorie Sturm-Liouville — Théorie de Sturm Liouville La théorie de Sturm Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette… …   Wikipédia en Français

  • Théorie de sturm-liouville — La théorie de Sturm Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée… …   Wikipédia en Français

  • Théorie de Sturm-Liouville — La théorie de Sturm Liouville étudie le cas particulier des équations différentielles linéaires scalaires d ordre deux de la forme dans laquelle le paramètre λ fait partie comme la fonction y des inconnues. Cette équation est fréquemment posée… …   Wikipédia en Français

  • Sturm-Liouville-Problem — Ein klassisches Sturm Liouville Problem (nach Joseph Liouville und Charles François Sturm) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Finde alle komplexen Zahlen λ, für die die Differentialgleichung auf dem Intervall (a,b) eine Lösung… …   Deutsch Wikipedia

  • Liouville — Joseph Liouville. Joseph Liouville (* 24. März 1809 in Saint Omer; † 8. September 1882 in Paris) war ein französischer Mathematiker. Er studierte in Toul und ab 1825 in Paris an der École Polytechnique, wo er zwei Jahre später, unter anderem bei …   Deutsch Wikipedia

  • Sturm — Übergriff; Überfall; Offensive; Angriff; Orkan; starker Wind * * * Sturm [ʃtʊrm], der; [e]s, Stürme [ ʃtʏrmə]: 1. heftiger, starker Wind: ein furchtbarer, verheerender Sturm; ein Sturm kommt auf; der Sturm wütet, tobt, wühlt das Meer auf, hat… …   Universal-Lexikon

  • STURM (C. F.) — STURM CHARLES FRANÇOIS (1803 1855) Après avoir été étudiant à l’université de Genève (sa ville natale), Sturm se rend, pour être précepteur dans la famille Broglie, à Paris, où il fréquente les plus grands savants de l’époque et où il se fixe… …   Encyclopédie Universelle

  • Sturm — Cette page d’homonymie répertorie les différents sujets et articles partageant un même nom. Sommaire 1 Patronyme 2 Science et technique 3 …   Wikipédia en Français

  • Théorie des équations (mathématiques) — Pour les articles homonymes, voir Théorie des équations. La théorie des équations est la partie des mathématiques qui traite des problèmes posés par les équations polynomiales de tous les degrés. Se trouvent ainsi rassemblés les problèmes de… …   Wikipédia en Français

Share the article and excerpts

Direct link
Do a right-click on the link above
and select “Copy Link”