Störungslemma

Als Störungslemma bezeichnet man in der Numerik einen Satz, der eine Aussage über kleine Störungen einer regulären Matrix macht.

Formale Beschreibung

Sei $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine reguläre Matrix und $\delta A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ eine Matrix mit

$\|A^{-1}\| \cdot \|\delta A\|<1$

in einer submultiplikativen Matrixnorm $\| \cdot \|$. Dann ist auch A + δA regulär und es gilt:

$\|(A+\delta A )^{-1}\|\le \frac{\|A^{-1}\|}{1-\|A^{-1}\|\|\delta A\|}.$

Verwendung

Dieses Lemma wird verwendet, um die Konditionszahl für das Lösen linearer Gleichungssysteme als

$\kappa (A)=\|A\| \cdot \| A^{-1}\|$

herzuleiten.

Literatur

• J. W. Demmel: Applied Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia 1997
• A. Kielbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Deutscher Verlag der Wissenschaften, 1988, ISBN 3-326-00194-0