Matrixnorm

Die Matrixnorm ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Matrixnormen sind Normen auf dem Vektorraum der (n x n)-Matrizen. Sie haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix, also der Betrag des betragsgrößten Eigenwerts, niemals größer als der Wert einer beliebigen submultiplikativen Matrixnorm. Insbesondere in der numerischen Mathematik werden die Matrixnormen verwendet.

Definition

Sei K ein Körper so wird mit $K^{n \times n}$ die Menge der $(n \times n)$-Matrizen mit Einträgen aus dem Körper K bezeichnet. In vielen Fällen wird für K der Körper der reellen Zahlen $\R$ verwendet. Eine Matrixnorm $\|.\|$ ist nun eine Norm auf dem Raum $K^{n \times n}$. Das heißt $\|.\|$ ist eine Abbildung

$\|\cdot\|: K^{n \times n} \to \R,$

die die folgenden drei Eigenschaften

• $\|M\| = 0 \;\Rightarrow\; M = 0$ (Definitheit);
• $\|\alpha \cdot M\| = |\alpha| \, \|M\|$ (absolute Homogenität);
• $\|M + N\| \leq \|M\| + \|N\|$ (die Dreiecksungleichung).

für alle $M,\, N \in K^{n \times n}$ und $\alpha \in \R$ erfüllt. Teilweise wird noch eine vierte Eigenschaft gefordert. So wird in manchen Quellen noch gefordert, dass die Matrixnorm submultiplikativ ist, das heißt, dass zusätzlich noch

• $\|M \cdot N\| \leq \|M\| \|N\|.$

gilt und damit $K^{n \times n}$ sogar zu einer Banachalgebra wird.

Zusammenhang zur Operatornorm

Eine Matrixnorm $\| \cdot \|$ heißt induziert durch eine Norm $\| \cdot \|_V$, wenn sie bezüglich dieser als Operatornorm dargestellt werden kann, also falls

$\|M\| = \sup_{x\not = 0}\frac{\|Mx\|_V}{\|x\|_V} = \sup_{\|x\|_V = 1}\|Mx\|_V$

gilt. In lokal kompakten Vektorräumen (z.B. endlichdimensionalen Vektorräumen) wird das Supremum angenommen, das heißt sup  kann durch max  ersetzt werden, weil die Normabbildung stetig und die Menge der Einheitsvektoren im endlichdimensionalen Vektorraum Kⁿ kompakt ist. Eine Matrixnorm, die auch eine Operatornorm ist, ist stets submultiplikativ. Um die Norm $\| \cdot \|_V$ besser von der Matrixnorm zu unterscheiden wird diese ab hier als Vektornorm bezeichnet.

Verträglichkeit mit einer Vektornorm

Eine Matrixnorm $\| \cdot \|$ heißt verträglich mit einer Vektornorm $\| \cdot \|_V$, wenn die Ungleichung

$\|Mx\|_V \leq \|M\| \cdot \|x\|_V$

gilt. Jede Matrixnorm, die durch eine Vektornorm induziert wird, ist mit dieser verträglich.

Beispiele

Alle hier betrachteten Matrizen sind quadratisch und haben n Zeilen beziehungsweise n Spalten.

Spaltensummennorm

Als Spaltensummennorm bezeichnet man die Norm

$\left\| M \right\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^n \left| m_{ij} \right|},$

dabei sind die m_ij die Einträge von M. Diese Matrixnorm ist durch die Betragssummennorm induziert, denn es gilt

$\max_{\|x\|_1 = 1} \|Mx\|_1 = \max_{\|x\|_1 = 1} \sum_{i=1}^n \left|\sum_{k=1}^n m_{ik} x_k\right| = \max_{\pm e_j} \sum_{i=1}^n \left|\sum_{k=1}^n m_{ik}e_{j_k} \right| = \max_j\sum_{i=1}^n \left| m_{ij} \right| = \|M\|_1.$

Mit $e_{j_k}$ wird die k-te Komponente des j-ten Einheitsvektors bezeichnet.

Spektralnorm

Als Spektralnorm wird die Norm

$\left\| M \right\|_2 = \sqrt{\lambda_{{\max}}(M^{H} \cdot M)}$

bezeichnet. Dabei ist M^H die zu M adjungierte Matrix und $\lambda_\max(M^{H} \cdot M)$ der betragsmäßig größte Eigenwert des Matrixprodukts $M^{H} \cdot M\, .$ Diese Matrixnorm ist durch die euklidische Norm induziert.

Zeilensummennorm

Die Zeilensummennorm ist durch

$\left\| M \right\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^n \left| m_{ij} \right|}$

definiert, wobei die m_ij wieder die Einträge von M sind. Induziert wird diese Matrixnorm durch die Maximumsnorm.

Gesamtnorm

Als Gesamtnorm wird die Matrixnorm

$\|M\|=n \cdot \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}}|m_{ij}|$

bezeichnet. Sie ist verträglich mit der Betragssummennorm, der euklidischen Norm und der Maximumsnorm, außerdem ist sie submultiplikativ.

Frobeniusnorm oder Schurnorm

Die Frobeniusnorm, die nach dem Mathematiker Ferdinand Georg Frobenius benannt ist, ist durch

$\|M\|_{{\rm F}} = \sqrt{\sum_{i,j}|m_{ij}|^{2}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left(M^H \cdot M \right)}= \sqrt{\sum_{j=1}^n \lambda_j \left(M^H \cdot M \right)}$,

definiert, dabei ist $\operatorname{tr}(M^H \cdot M)$ die Spur (englisch trace) von $M^H \cdot M$ und $\textstyle (\lambda_j \, (M^H \cdot M))_{j=1 \, \dots \, n}$ ist die Liste aller Eigenwerte von $M^H \cdot M$ mit ihren algebraischen Vielfachheiten. Diese Norm heißt auch Schurnorm. Sie ist mit der euklidischen Norm verträglich und submultiplikativ.

Nicht submultiplikative Matrixnorm

Eine nicht submultiplikative Matrixnorm ist durch

$\left\| M \right\| = \max_{i,j} |m_{ij}|$

gegeben.

Ky-Fan-Norm

→ Hauptartikel: Ky-Fan-Norm

Die k-te Ky-Fan-Norm ist definiert durch

$\|M\|_{KF_k} := s_1(M) + s_2(M) + \cdots + s_k(M),$

wobei s_i(M) der i-te Singulärwert von M ist. Insbesondere stimmt die erste Ky-Fan-Norm mit der Spektralnorm überein.

Literatur

Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik, Vieweg- & Teubner-Verlag, 2006, ISBN 3835101145