- Tensorverjüngung
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Die Tensorverjüngung ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Sie verallgemeinert das Konzept der Spur für Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.
Definition
Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei
der Tensorraum der r-fach kontravarianten und s-fach kovarianten Tensoren (kurz: (r,s)-Tensoren) über V.
Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: (k,l)-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung
mit
und
, welche durch
definiert werden kann. Dabei ist
natürlich ein Element von
. Nicht jedes Element von
ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man n: = r + s, so wird also aus einem Tensor n-ter Stufe ein Tensor der Stufe n − 2.
Beispiele
- Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix
als Linearkombination
darstellt. Hier bilden die vi eine Basis von V und die ξj die dazu duale Basis von V * . Wendet man nun die Funktionan, so erhält man
Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt. - Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor
durch Verjüngung den Ricci-Tensor
.
Literatur
- R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8
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