Tensorverjüngung

Die Tensorverjüngung ist ein mathematischer Begriff aus der linearen Algebra. Sie verallgemeinert das Konzept der Spur für Tensoren, die mindestens einfach kovariant und einfach kontravariant sind.

Definition

Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum und sei

$T^r_s (V) := \underbrace{V \otimes \cdots \otimes V}_{r\text{-mal}} \otimes \underbrace{V^* \otimes \cdots \otimes V^*}_{s\text{-mal}}$

der Tensorraum der r-fach kontravarianten und s-fach kovarianten Tensoren (kurz: (r,s)-Tensoren) über V.

Als Verjüngung oder Kontraktion eines Tensors (genauer: (k,l)-Kontraktion) bezeichnet man die lineare Abbildung

$C^k_l: T^{r}_{s} (V) \rightarrow T^{r-1}_{s-1}(V)$

mit $1 \le k \le r$ und $1 \le l \le s$ , welche durch

$v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s} \mapsto$

$\xi_l (v_k) (v_1 \otimes \cdots \otimes v_{k-1} \otimes v_{k+1} \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{l-1} \otimes \xi_{l+1} \otimes \cdots \otimes \xi_{s})$

definiert werden kann. Dabei ist $v_1 \otimes \cdots \otimes v_{r} \otimes \xi_1 \otimes \cdots \otimes \xi_{s}$ natürlich ein Element von $T^r_s(V)$. Nicht jedes Element von $T^r_s(V)$ ist von dieser Form, aber die Elemente dieser Form erzeugen den Tensorraum und die Abbildung ist wohldefiniert. Setzt man n: = r + s, so wird also aus einem Tensor n-ter Stufe ein Tensor der Stufe n − 2.

Beispiele

• Interpretiert man eine Matrix als einen einfach ko- sowie kontravarianten Tensor, so ist die Verjüngung einer Matrix ihre Spur. Dies lässt sich sehr schnell einsehen, wenn man die Matrix $A \in \operatorname {End}(V) \cong V \otimes V^*$ als Linearkombination
  $A = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}$
  darstellt. Hier bilden die v_i eine Basis von V und die ξ_j die dazu duale Basis von V ^* . Wendet man nun die Funktion $C^1_1$ an, so erhält man
  $C^1_1(A) = C^1_1(\sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \,v_{i} \otimes \xi_{j}) = \sum_{i,j} \lambda_{i}^{j} \delta_{ij} = \sum_i \lambda^i_i = \operatorname {Spur}(A).$
  Dies lässt erkennen, dass die Tensorverjüngung eine Verallgemeinerung des aus der linearen Algebra bekannten Spuroperators ist. Aus diesem Grund wird die Abbildung auch Spurbildung genannt.
• Man erhält aus dem riemannschen Krümmungstensor $R^l_{ijk}$ durch Verjüngung den Ricci-Tensor $R_{ik} = R^j_{ijk}$.

Literatur

• R. Abraham, Jerrold E. Marsden, & T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis and Applications., Springer-Verlag, Berlin 2003, ISBN 0-201-10168-8