Thüringer Quadrat

Ähnlich wie ein Sudoku ist ein Thüringer Quadrat ein Gitternetz, dessen Felder nach bestimmten Regeln mit verschiedenen Elementen gefüllt werden. Die Thüringer Quadrate sind ein Spezialfall der Lateinischen Quadrate. Lateinische Quadrate setzen sich aus n verschiedenen Elementen (in der Regel Ziffern oder Zahlen) zusammen, die in Zeilen und Spalten so angeordnet sind, dass bei einer Kantenlänge von n Feldern jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommt. Im Thüringer Quadrat dürfen sich die Elemente auch in den Diagonalen nicht wiederholen. Ein Thüringer Quadrat ist also immer auch ein Lateinisches Quadrat, wenn man anstelle der dort üblichen Ziffern oder Zahlen Farben einsetzt.

Definition

Ein Thüringer Quadrat der Ordnung n ist ein Quadrat mit der Kantenlänge n, in dem n verschiedene Farben so angeordnet sind, dass keine Farbe in einer Spalte, Zeile oder Diagonale mehrfach vorkommt. Durch diese Regeln kommt in jeder Zeile, Spalte und Diagonale jede Farbe genau einmal vor.

Hier weitere wichtige Begriffe:

• Die für Zeilen geltende Regel heiße Zeilenregel.
• Die für Spalten geltende Regel heiße Spaltenregel.
• Die für Diagonalen geltende Regel heiße Diagonalenregel.

Thüringer Quadrate der Ordnungen 1-3

Es gibt genau ein Thüringer Quadrat der Ordnung 1, da bei nur eine Farbe zur Verfügung steht und auch nur ein Feld. Thüringer Quadrate der Ordnung 2 existieren nicht, denn egal wie die Farben in der ersten Zeile angeordnet werden, können die Farben in der zweiten Reihe offensichtlich nicht so angeordnet werden, dass sowohl in allen Spalten, als auch in allen Zeilen und Diagonalen keine der Farben mehrfach vorkommt.

Auch Thüringer Quadrate der Ordnung 3 existieren nicht, denn das mittlere Feld ist mit jedem anderen Feld entweder in einer Zeile, Spalte oder Diagonale verknüpft. Da diese Farbe noch in zwei weitere Felder verteilt werden muss, kann ein solches Quadrat nicht existieren.

Für alle Thüringer Quadrate der Ordnungen gibt es mehrere Anordnungsvarianten. Um deren Anzahl herauszufinden, beginnen wir zeilenweise einzelne Varianten auf ihre Untervarianten zu testen

Thüringer Quadrate der Ordnung 4

Durch eine Fallunterscheidung kann herausgefunden werden, wie viele grundverschiedene Thüringer Quadrate einer Ordnung es gibt. Zunächst ersetzen wir die Farben durch die Buchstaben A, B, C und D. Dann notieren wir alle Anordnungsmöglichkeiten für diese Buchstaben. Da die Benennung der Farben beliebig erfolgen kann, nehmen wir an, dass in der ersten Zeile die Buchstaben in der Reihenfolge ABCD stehen. Nun können wir für die Zeilen zwei bis vier alle Buchstabenfolgen, die ein A an erster, ein B an zweiter, ein C an dritter oder ein D an vierter Stelle haben, von der Betrachtung ausschließen. Übrig bleiben die Folgen BADC, BCDA, BDAC, CADB, CDAB, CDBA, DABC, DCAB und DCBA. Dann suchen wir aus diesen verbliebenen Folgen diejenigen heraus, die in der zweiten Zeile so eingesetzt werden können, dass auch in den Diagonalen keine Wiederholungen vorkommen. Darauf suchen wir für jeden dieser Fälle alle möglichen Folgen, die Zeile drei gemäß den Regeln für Thüringer Quadrate zu ergänzen.

Quadrat 1

• A B C D
• C D A B
• D C B A
• B A D C

Quadrat 2

• A B C D
• D C B A
• B A D C
• C D A B

Die Buchstabenfolge der letzten Zeile lässt sich leicht mit der Spaltenregel konstruieren. Dabei widerspricht die letzte Zeile in drei von fünf Fällen der Diagonalenregel. Diese Quadrate sind somit keine Thüringer Quadrate.

Auf diese Weise ergeben sich zwei grundverschiedene Quadrate, die allerdings variiert werden können. Durch Permutation der vier Farben und Buchstaben erhält man vierundzwanzig verschiedene Möglichkeiten für jedes Quadrat. Quadrat 1 ist teilweise drehsymmetrisch und spiegelsymmetrisch, das bedeutet, statt es horizontal oder vertikal zu spiegeln können wir die Farben vertauschen, außerdem kann es nur einmal um 90° oder 270° gedreht werden, ohne dass die Drehung einem Farbtausch entspricht. Das andere ist vollkommen drehsymmetrisch und lässt sich nur an seinen Diagonalen spiegeln. Wenn wir die vierundzwanzig Farbtauschvarianten mit den 3 Varianten aus Grundform und Spiegelung bei Quadrat 1 an den Diagonalen und der Anzahl der grundverschiedenen Thüringer Quadrate multiplizieren erhalten wir einhundertachtundsechzig Thüringer Quadrate vierter Ordnung.

Thüringer Quadrate der Ordnung 5

Auch zur Bestimmung der Quadrate der Ordnung fünf können wir die Methode der Fallunterscheidung nutzen. Die Farben werden den Buchstaben A, B, C, D und E zugeordnet. Die erste Zeile wird als ABCDE festgelegt. Danach wird nach Varianten für die zweite und dritte Zeile gesucht. Anschließend ist es möglich durch Ausschluss von Wiederholungen zu überprüfen, welches dieser Teilquadrate es ermöglicht, ein Thüringer Quadrat zu bilden. Diese Technik ist allerdings sehr umständlich und zeitaufwendig. Daher suchten und fanden wir eine einfachere Variante, die auf der bereits vorhandenen Arbeit über dieses Thema im Jahre 1992/92 begründet ist.

Zu Beginn dieser Arbeit wird dargestellt, dass Thüringer Quadrate der Ordnungen vier und fünf genau zwei Möglichkeiten zur Anordnung der Diagonalen besitzen

Da nur zwei Diagonalen vorhanden sind, können wir den Aufwand minimieren. Die Anzahl der grundverschiedenen Diagonalenvariationen in der fünften Ordnung entspricht der in der vierten Ordnung. Denn in ungeraden Ordnungen teilen die Diagonalen ein Feld, welches für die Variationen der Diagonalen nicht von Bedeutung ist. Deshalb hat jede ungerade Ordnung die gleiche Anzahl an Variationen wie die vorhergehende gerade Ordnung. Logischerweise können wir dank dieser Erkenntnis die Variationen der Ordnung fünf bilden, indem wir die bereits bekannten Diagonalen der vierten Ordnung teilen und die Teile durch die fünfte, in Ordnung vier nicht vorhandene Farbe verbinden.

Mit Hilfe der neuen Variationen und einer Hilfsfarbe können wir die Quadrate der Ordnung fünf bilden. In diesem Fall bietet sich die Farbe B als Hilfsfarbe an. Diese Farbe kann in beiden Fällen an zwei unterschiedlichen Stellen der ersten Spalte eingesetzt werden. Durch Anwendung der Regeln für Thüringer Quadrate ergeben sich vier grundverschiedene Quadrate.

Quadrat 1

• A B C E D
• C D B A E
• D A E C B
• E C D B A
• B E A D C

Quadrat 2

• A E B C D
• E D C A B
• C B E D A
• D C A B E
• B A D E C

Quadrat 3

• A B C E D
• D C A B E
• B D E C A
• E A B D C
• C E D A B

Quadrat 4

• A E B C D
• E C D B A
• D B E A C
• B A C D E
• C D A E B

Diese Quadrate sind nicht spiegel- und teilweise drehsymmetrisch, sie können nur um 90° oder 270° gedreht werden ohne einer Farbtauschvariante zu entsprechen. Dadurch erhält man vier Spiegelungen und eine weitere Variante durch Drehung. Durch Multiplikation der diesmal 120 Permutationen des Farbtausches mit den sechs Varianten aus Spiegelung, Drehung und Grundform und der Anzahl der Grundverschiedenen Quadrate. So erhält man 2880 Thüringer Quadrate der fünften Ordnung.

Diese Methode ist selbstverständlich nur dann anwendbar, wenn die Lösungen der vierten Ordnung bereits bekannt sind.

Literatur

• Borken, Cordula; Schneider Ronny: Jugend forscht - Thüringer Quadrate. 1992/93. 
• Weisheit, Tilman; Widman, Benjamin: Jugend forscht - Magische Würfel, Thüringer Quadrate und Würfel. 2008/09.