Trigonometrische Reihe

Ein Trigonometrisches Polynom (eine Trigonometrische Summe) ist ein Polynom, welches trigonometrische Ausdrücke enthält. Es hat also folgende Form:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos k \omega x+b_k\sin k \omega x)$

wobei $a_k , b_k \in \mathbb{R}$
n bezeichnet man als den Grad des Polynoms und ω = 2π / T wobei T die Periode von f ist. Meistens betrachtet man aber nur 2π periodische Funktionen und erhält dann:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n}(a_k\cos kx+b_k\sin kx)$

Alternativ zu der obigen Darstellung existiert noch eine komplexe Darstellung, die sich oft als rechentechnisch günstig erweist:

$f(x)=\sum_{k=-n}^{k=n} c_k e^{ik\omega x}$

für $c_0=\frac{a_0}{2}, c_k=\frac{(a_k-ib_k)}{2}, c_{-k}=\frac{(a_k+ib_k)}{2}$

Trigonometrische Reihe

Analog zum Begriff eines trigonometrischen Polynoms kann man auch den Begriff der trigonometrischen Reihe definieren:

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{\infty}(a_k\cos k \omega x+b_k\sin k \omega x)$

bzw. in der komplexen Darstellung:

$f(x)=\sum_{k=-\infty}^{k=\infty} c_k e^{ik\omega x}$

Anwendungen

• Fourierreihe
• Trigonometrische Interpolation