Barrier-Option

Barrier Optionen sind eine Sonderform von Optionen und zählen zu den exotischen Optionen. Der Hauptunterschied zu den Optionen besteht darin, dass Barrier Optionen durch das Eintreten bestimmter Ereignisse aktiviert oder deaktiviert werden. Man unterscheidet dabei im Wesentlichen die folgenden Optionstypen:

Knock-Out-Option

Bei Knock-Out-Optionen handelt es sich um gewöhnliche (Call- oder Put-) Optionen, die jedoch verfallen, wenn eine gewisse, vorgelegte Barriere erreicht wird.

Beispiel: Ein Barrier-Call mit Startwert S₀ = 100, Strike K = 90, einer Laufzeit von T = 2 Jahren und Knock-out-Level B = 120 besitzt folgendes Auszahlungsprofil:

• Erreicht der Kurs S_t irgendwann im Laufe die Marke von 120 oder steigt über diese, so wird, unabhängig vom Schlusswert, nichts ausgezahlt.
• Liegt der Schlusswert S₂ unter dem Strike von 90, so verfällt die Option ebenfalls (unabhängig davon, ob zwischendurch die Barriere erreicht wurde).
• Nur wenn der Schlusskurs oberhalb des Strikes liegt (etwa S₂ = 112), die Marke von 120 jedoch nie erreicht wurde, wird die Differenz von Schlusskurs und Strike ausgezahlt (hier beispielsweise 112 − 90 = 22).

Da in diesem Beispiel die Barriere über dem Startwert liegt, spricht man hier auch von einem Up-and-Out-Call. Das Gegenstück hierzu wäre ein Down-and-Out-Call, der verfällt, wenn eine Barriere, die unter dem Anfangskurs liegt, unterschritten wird.

Knock-In-Option

Bei der Knock-In-Option verhält es sich umgekehrt: sie wird nur dann gültig, wenn die Barriere im Laufe der Zeit mindestens einmal erreicht wird, sonst verfällt sie.

Beispiel: Ein Barrier-Call mit S₀ = 100, Strike K = 110 und Knock-In-Level B = 130 bewirkt die folgende Auszahlungsstruktur:

• Falls der Kurs während der gesamten Laufzeit nie die Marke von 130 erreicht, wird nichts ausgezahlt, selbst dann nicht, wenn der Schlusskurs über dem Strike liegt.
• Ebenfalls nichts ausgezahlt wird, wenn der Schlusskurs unter 110 liegt, unabhängig davon, ob die Marke von 130 jemals erreicht wurde.
• Überschreitet der Kurs im Laufe der Zeit die Marke von 130 und liegt am Schlusstag immerhin noch über 110 (etwa bei 124), so wird die Differenz von Schlusskurs und Strike ausgezahlt (hier: 124-110=14).

Bei diesem Beispiel handelt es sich konsistenterweise um einen Up-and-In-Call, dessen Gegenstück ein Down-and-In-Call wäre. Letzterer wäre faktisch eine Wette auf ein „Comeback“ der Aktie: um nicht zu verfallen, müsste das Underlying erst eine Barriere unterschreiten und dann am Schluss wieder über dem Strike stehen.

Digital-Barrier-Option

Bei digitalen Barrier Options wird im Gegensatz zu den obigen Derivaten kein Strike vereinbart, den es am Schluss zu über- (Call) oder unterschreiten (Put) gilt. Hier wird einfach ein vorher festgelegter Nennwert ausgezahlt, wenn die Barriere während der Laufzeit erreicht wurde.

Beispiel: Eine Digital Barrier Option mit Startwert S₀ = 100, Nennwert N = 50, und Barriere B = 80 zahlt am Schlusstag 50 aus, wenn der Kurs irgendwann unter 80 gelegen hat. Der Schlusskurs spielt dabei keine Rolle. Mit einer solchen Option kann sich ein Investor, der in ebenjenes Underlying anlegen möchte, gegen starke Kursverluste absichern.

Weitere Varianten

Die oben erwähnten Optionstypen sind die bei weitem häufigsten und liquidesten Barrier-Optionen. Jedoch gibt es noch eine ganze Reihe anderer, komplizierterer Instrumente, die auch auf dem Barrierenkonzept beruhen:

• Knock-Out-Optionen mit Prämie: Hierbei handelt es sich um Knock-Out-Optionen im obigen Sinne, jedoch mit einer zusätzlichen Vereinbarung: verfällt die Option, weil die Barriere erreicht wurde, so wird eine vorher abgemachte Prämie als Entschädigung gezahlt. Diese Option gilt oft nicht als eigenständiger Typ von Barrier-Optionen, da er als Linearkombination aus Knock-Out- und Digital-Barrier-Option darstellbar ist.
• Dynamische Barrieren: Hier wird die Barrierenbedingung insofern abgeändert, als sich das Knock-Out- oder Knock-In-Level im laufe der Zeit ändern kann. Beispielsweise kann vereinbart werden, dass das Underlying im ersten Jahr nicht unter 90, im zweiten nicht unter 80 fallen darf, oder dass der Kurs S_t zu keinem Zeitpunkt $t \in [0,T]$ unterhalb der Funktion B(t) = B₀e^rt fallen darf. Dies ist vor allem bei langen Laufzeiten vorteilhaft, da hier der erwartete exponentielle Anstieg des Kurses berücksichtigt werden kann.
• Tunnel-Optionen stellen eine weitestmögliche Verallgemeinerung der Barrier-Option dar: hier verfällt die Option, wenn der Kurs unter eine (unter Umständen dynamische) Untergrenze fällt oder über eine Obergrenze steigt. Das Underlying darf sich also nur in einer gewissen Bandbreite (eben innerhalb eines Tunnels bewegen. Mit diesem Instrument kann der Anleger quasi auf die Volatilität des Underlyings wetten: Stark schwankende Aktien durchbrechen eine der Grenzen eher als stabile Werte.
• Parisian-Optionen knocken erst dann, wenn die Barrierebedingung für eine festgelegte Zeitdauer erfüllt ist, wenn also z.B. bei einer Down-and-In-Option der Kurs für einen Monat unterhalb des Barrier-Levels liegt. Je nachdem, ob die Zeitdauer am Stück oder kumuliert unterschritten werden muss, unterscheidet man zwischen den reinen Parisian Optionen und den kumulativen Parisian Optionen, auch Parasian Optionen genannt.

Bewertung von Barrier-Optionen

Die Berechnung des fairen Optionspreises ist bei Barrier-Optionen, wie allgemein bei pfadabhängigen Derivaten (deren Auszahlung also nicht nur vom Schlusskurs abhängt, sondern den gesamten Kursverlauf berücksichtigt), oftmals keine leichte Aufgabe. Explizit müssen hier Informationen über die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Extremwerte des Kurses bekannt sein. Im Black-Scholes-Modell ist das beispielsweise der Fall, ebenso in Binomialmodellen. Bei komplizierteren Kapitalmarktmodellen jedoch hilft oft nur eine Diskretisierung (also eine Approximation durch ein zeitdiskretes Modell) oder eine Monte-Carlo-Simulation.