Black-Scholes-Modell

Das Black-Scholes-Modell (gesprochen ˌblæk ˈʃoʊlz^[1]) ist ein finanzmathematisches Modell zur Bewertung von Finanzoptionen, das von Fischer Black und Myron Samuel Scholes 1973 (nach zweimaliger Ablehnung durch renommierte Zeitschriften) veröffentlicht wurde und als ein Meilenstein der Finanzwirtschaft gilt. Robert C. Merton war ebenfalls an der Ausarbeitung beteiligt, veröffentlichte jedoch einen separaten Artikel. Gerechterweise müsste das Modell daher auch seinen Namen tragen, was sich aber nie durchsetzte. Jedoch wurde Merton zusammen mit Scholes für die Entwicklung dieses Modells mit dem Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften 1997 geehrt, Black war bereits 1995 verstorben. Black setzte jedoch auch andere Akzente als Scholes und Merton^[2].

Annahmen

Das ursprüngliche Modell trifft einige idealisierte Annahmen:

• Es existiert ein vollkommener und vollständiger Kapitalmarkt. Das bedeutet unter anderem Transaktionskostenfreiheit, keine Beschränkung von Leerverkäufen sowie Arbitragefreiheit.
• Die Renditen des zugrundeliegenden Wertes, d. h. die relativen Veränderungen dessen Kurses, sind identisch normalverteilte, stochastisch unabhängige Zufallsgrößen. Das bedeutet insbesondere, dass die Volatilität der Renditen konstant ist. Im Grundmodell werden Aktien betrachtet, die keine Dividenden zahlen.
• Es existiert ein konstanter Zinssatz, zu dem jederzeit beliebig Geld geliehen und angelegt werden kann.

In Modellerweiterungen werden auch Dividendenzahlungen, stochastische Zinssätze oder stochastische Volatilitäten betrachtet.

Modellrahmen

Das Modell basiert auf der Annahme, dass der natürliche Logarithmus des Basiswertes (also z.B. ein Aktienkurs) S einer Option einem sogenannten Wiener-Prozess folgt, so dass sich die Aktienpreise analog einer geometrischen Brownschen Bewegung verhalten:

dS_t = μS_tdt + σS_tdW_t.

Entwicklung der Dichte des Aktienpreises mit der Zeit

μ ist dabei die erwartete Rendite des Aktienkurses. Über das Argument der risikoneutralen Bewertung beziehungsweise der Arbitragefreiheit geht μ selbst nicht in die Bewertung ein, sondern der risikofreie Zinssatz r. σ bezeichnet die Volatilität, t die Zeit und dW eine zu $\sqrt{t}$ proportionale, normalverteilte Zufallsgröße. Das Modell nimmt an, dass der Markt Geldanlagen und -aufnahmen zum kontinuierlichen Zinssatz r ohne zusätzliche Kosten (Transaktionskosten) erlaubt.

Ziel ist die Bewertung (Preisbestimmung) eines europäischen Calls C und Puts P auf den Basiswert S mit einem Ausübungspreis K, einer Gesamtlaufzeit T und einer Restlaufzeit von T − t zum Zeitpunkt t.

Die Optionen erbringen am Ende der Laufzeit (bei t = T) die Kapitalflüsse:

CF(T,C) = max(S − K;0)

beziehungsweise

CF(T,P) = max(K − S;0)

Black und Scholes zeigen in ihrem Artikel, dass unter der Annahme einer konstanten Zins- und Volatilitätsentwicklung die Option durch ein geeignetes Portfolio bestehend aus dem Basiswert S und einer Anlage oder einem Kredit mit dem Zinssatz r dynamisch dupliziert werden kann. Der Wert der Option muss dann zu jedem Zeitpunkt mit dem Wert des Duplikationsportfolios übereinstimmen.

Der faire Preis der Option kann über verschiedene Argumentationen hergeleitet werden. Er kann als diskontierter Erwartungswert der Auszahlungen in T dargestellt werden, wobei der Erwartungswert bezüglich der Lognormalverteilung zu bilden ist:

C(S,t) = SΦ(d₁) − Ke ^{− r(T − t)}Φ(d₂)

P(S,t) = Ke ^{− r(T − t)}Φ( − d₂) − SΦ( − d₁)

wobei

$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}$

$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp{\frac{-z^2}{2}}dz$

die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung bezeichnet.

Der Wert einer Option ist also durch 5 Parameter bestimmt:

• S: aktueller Aktienkurs
• r: mit der Restlaufzeit der Option kongruenter Zinssatz
• σ: Die zukünftige Volatilität des Basiswertes. Diese ist bei Vertragsabschluss die einzige unbekannte Größe und damit letztlich Gegenstand der Preisfindung zwischen den Vertragsparteien.
• T − t: Restlaufzeit der Option mit Gesamtlaufzeit T zum Zeitpunkt t
• K: Basispreis, als Vertragsbestandteil festgelegt

Ein anderer Weg zur Herleitung des Modells besteht in der Anwendung des Lemmas von Itō und der Annahme der Arbitragefreiheit. Sie führen zu der Black-Scholes Differentialgleichung:

$\frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}=rV$.

V bezeichnet hierbei den Wert einer Option. Diese Differentialgleichung ist unter den gegebenen Annahmen für europäische Aktienoptionen gültig. Nimmt man die Geldflüsse zur Fälligkeit der Option als Anfangswert für die Differentialgleichung, ist die Bewertungsfunktion die Lösung des Anfangswertproblems.

Die »Griechen« nach Black-Scholes

Demonstration der Optionsgriechen anhand der Entwicklung des Callwertes

Als »Griechen« (engl. »Greeks«) werden die partiellen Ableitungen des Optionspreises nach den jeweiligen Modellparametern bezeichnet. Sie helfen Händlern ihr Portfolio auszutarieren, Risiken einzuschätzen und zu kontrollieren.

Preise eines Calls nach Black Scholes

1. Auf der nebenstehenden Grafik sind die Kurven mit europäischen Callwerten unterschiedlicher Restlaufzeit abgetragen. Diese sind überschneidungsfrei und umso höher, je länger die Restlaufzeit ist. Die unterste, geknickte Kurve ist der innere Wert der Option in Abhängigkeit vom aktuellen Basiskurs heute.
2. Die Optionswerte sind monoton wachsend (dies muss nicht allgemein zutreffen, wie etwa bei Zinsoptionen).
3. Der Preis des europäischen Calls liegt immer über seinem inneren Wert. Dies bedeutet ökonomisch, dass es immer besser ist, den Call am Markt zu verkaufen als vorher auszuüben, da der innere Wert (heute) kleiner ist als der Verkaufspreis am Markt. Dies wird im Falle von amerikanischen Calls relevant, da diese ein vorzeitiges Ausübungsrecht besitzen. Generell gilt, dass bei amerikanischen Optionen die vorzeitige Ausübung wertlos ist, solange es sich um ein ertragloses Gut handelt (keine Dividende innerhalb der Optionsfrist).
4. Sensitivität bezüglich Optionspreis: Delta: Steigung der Tangente an Optionswertkurve entspricht dem Delta aus dem Binomialmodell.
   1. at the money (S = E): Das Delta liegt ungefähr bei 1/2. Je größer der Aktienkurs S₀ desto größer die Steigung, das Delta.
   2. deep in the money: Der Optionswert reagiert wie der Aktienkurs selbst.
5. Sensitivität des Deltas bezüglich Optionspreis: Gamma: Das Gamma ist die Krümmung der Kurve, die Konvexität (mathematisch: zweite Ableitung des Callwerts nach dem Aktienkurs)
   1. deep out of the money: Gamma ist nahe Null, d.h. das Delta bleibt konstant.
   2. deep in the money: Gamma ist nahe Null.
6. Sensitivität bezüglich der Laufzeit: Theta: Veränderung des Optionswertes, wenn Kalenderzeit verstreicht. Kurz vor der Fälligkeit ist der Callwert außerordentlich zeitsensititv und besitzt eine hohe Konvexität.
   1. deep out of the money: großer Verlust der Position
   2. at the money: mittlerer Verlust
   3. deep in the money: großer Gewinn

Analog lassen sich entsprechende Beziehungen auch für Putwerte ableiten.

Delta

Delta einer europäischen Option nach Black und Scholes

Delta eines Calls mit der Zeit; jeweils aus, am und im Geld. Für den Put ist der Verlauf genau gleich, nur nach unten verschoben

Das Delta gibt an, um wie viel sich der Preis der Option ändert, wenn sich der Kurs des Basiswerts um eine Einheit ändert und alle übrigen Einflussfaktoren gleich bleiben. Beispielsweise hat eine "tief im Geld" liegenden Kaufoption ein Delta von +1, eine "tief im Geld" liegende Verkaufsoption von -1.

Im Black-Scholes-Modell errechnet man das Delta als:

$\Delta_c = \frac{\partial C}{\partial S}=\Phi(d_1)\ge0$

für den europäischen Call, bzw.

$\Delta_p = \frac{\partial P}{\partial S} = -\Phi(-d_1) = \Phi(d_1)-1\le0$

für den Put.

Gamma

Das Gamma ist die zweite Ableitung des Optionspreises nach dem Preis des Basiswertes. Es ist für Call und Put im Black Scholes Modell gleich und zwar

$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{\varphi(d_1)}{S\sigma\sqrt{T-t}} = \frac{\Phi'(d_1)}{S\sigma\sqrt{T-t}}\ge0$.

Das Gamma ist also nicht negativ, das heißt der Optionspreis ändert sich immer in die gleiche Richtung (steigen/fallen) wie die Volatilität. Ist die Option »at the money« (»am Geld«), kann das Gamma bei abnehmender Restlaufzeit über alle Schranken wachsen. Der Buchstabe φ steht hier für die Dichtefunktion der Normalverteilung, vergl. Φ Verteilungsfunktion.

Gamma einer europäischen Option nach Black Scholes

Vega (Lambda, Kappa)

Das Vega, auch Lambda oder Kappa^[3] genannt, bezeichnet die Ableitung des Optionspreises nach der Volatilität und gibt somit an, wie stark eine Option auf Änderungen der (im Black-Scholes-Modell konstanten) Volatilität reagiert. Das Vega ist für einen europäischen Call und Put gleich, und zwar

$\Lambda = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = \frac{\partial P}{\partial \sigma} = S\varphi(d_1)\sqrt{T-t} = S\Phi'(d_1)\sqrt{T-t}\ge0$.

Vega ist kein griechischer Buchstabe. Sigma ist als Zeichen schon für die Standardabweichung vergeben. Die Volatilität wird als Schätzer für die künftige Standardabweichung verwendet.

Theta

Das Theta bezeichnet die Ableitung nach der vergangenen Zeit t, gibt also die Sensitivität der Option auf Änderungen der Zeit an. Da sich ceteris paribus mit der Zeit der Wert einer Option an den Payoff zum Fälligkeitsdatum annähert, ist das Theta einer europäischen Call-Option nie positiv, die Option verliert mit der Zeit an Wert. Es wird auch als Zeitwert der Option bezeichnet. Im Black-Scholes Modell ist es

$\Theta_c =\frac{\partial C}{\partial t}= -\frac{S\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}} - rKe^{-r(T-t)}\Phi(d_2)$

bzw.

$\Theta_p=\frac{\partial P}{\partial t}=-\frac{S\varphi(d_1)\sigma}{2\sqrt{T-t}} + rKe^{-r(T-t)}\Phi(-d_2)$.

Rho

Mit Rho wird die Sensitivität der Option bei kleinen Änderungen des Zinssatzes bezeichnet.

$\Rho_c = \frac{\partial C}{\partial r} = (T - t)Ke^{-r(T - t)}\Phi(d_2)\ge0$

$\Rho_p = \frac{\partial P}{\partial r} = -(T - t)Ke^{-r(T - t)}\Phi(-d_2)\le0$.

Omega

Die Optionselastizität ist eine prozentuale Sensitivität:

$\Omega_c = \frac{\frac{\Delta C}{C}}{\frac{\Delta S}{S}} = \Phi(d_1)\frac{S}{C} >0$

$\Omega_p = \frac{\frac{\Delta P}{P}}{\frac{\Delta S}{S}} = (\Phi(d_1)-1)\frac{S}{P} <0$.

Anwendung

Das Delta ist die bedeutendste Optionssensitivität. Wenn man eine Aktie besitzt, so muss das Delta mal die Calloption gleich dem N(x ⁻ ) sein. D.h., bei einem Delta von 1/2 sind zwei Calloptionen so riskant wie eine Aktie. Das Delta kann maximal 1 betragen, was bedeutet, dass der Callpreis so wie die Aktie reagiert.

Es ist jedes beliebige Delta über Kauf und Verkauf erzeugbar. Damit kann eine Position bezüglich des Delta (der Aktienkursänderung) abgesichert werden.

Ein Optionshändler, der beispielsweise ein bezüglich des Delta gesichertes Portfolio über das Wochenende hält, hält aber dennoch keine vollkommen risikolose Position, denn über das Wochenende verliert die Position an Zeitwert (Theta). Um diesen Zusammenhang auszunutzen, müssten alle Marktteilnehmer den Titel short (Verkaufen des Titels ohne diesen zu besitzen) gehen. Dies trifft aber nicht zu, da sich die Konvexität (Gamma) in eine andere Richtung bewegt. Der Vorteil der Konvexität (Gamma positiv) ist, dass, wenn der Aktienkurs steigt, dies immer positiv ist. Dies bedeutet aber für denjenigen der den Titel short geht, dass er bei einem steigenden Aktienkurs verliert.

Probleme

Trotz verschiedener Schwächen wird das Black-Scholes-Modell in der Finanzwelt häufig angewendet.

Im Black-Scholes-Modell wird die Volatilität σ als konstant angenommen. Alle ex-post-Berechnungen von Standardabweichungen der Renditen zeigen aber, dass die Volatilität über die Zeit nicht konstant ist.

Marktpreise von Optionen zeigen außerdem, dass deren implizite Volatilitäten zu einem bestimmten Zeitpunkt in Abhängigkeit von der Moneyness verschiedene Werte ergeben kann. Dies ergibt den sogenannten Volatilitäts-Smile. Außerdem hängt zu einem gegebenen Zeitpunkt die implizite Volatilität von Optionen auf denselben Basiswert von deren Restlaufzeit ab (Zeitstruktur der Volatilität).^[4] Beide Beobachtungen stimmen nicht mit der Modellannahme einer einzigen Volatilität überein.

Erweiterte Modelle, in denen die Volatilität als fallende Funktion vom Aktienkurs angenommen wird, wie z.B. das CEV-Modell, liefern bessere Resultate.

Herleitung

Das Black-Scholes-Modell kann als Grenzfall des zeit- und wertediskreten Binomialmodells nach Cox, Ross und Rubinstein interpretiert werden, indem die Handelsintervalle immer kürzer gesetzt werden.

$\Delta t \to 0$.

u(Δt) und d(Δt) nehmen kontrolliert ab. Die Aktienkursrenditen im diskreten Modell seien binomialverteilt. Sie konvergieren gegen Normalverteilung. Die Aktienkurse sind dann in jedem Zeitpunkt logarithmisch normalverteilt. In der Regel ist eine Schrittzahl von 100 ausreichend mit der Einschränkung exotischer Optionen oder Optionssensitivitäten.

Literatur

1. ↑ Korrekte Aussprache von Black-Scholes http://www.merriam-webster.com/dictionary/scholes
2. ↑ Mehrling, Perry: „Understanding Fischer Black“ first draft of the book chapters that deal with Black's academic years „Fischer Black and the Revolutionary Idea of Finance“ © 2005 http://www.econ.barnard.columbia.edu/faculty/mehrling/papers/understanding_fischer_black.pdf
3. ↑ Igor Uszczapowski: Optionen und Futures verstehen. Grundlagen und neue Entwicklungen. 6. aktualisierte und erweiterte Auflage. Deutscher Taschenbuchverlag, München 2008, ISBN 978-3-423-05808-7 (dtv. 5808. Beck-Wirtschaftsberater).
4. ↑ John C. Hull: Options, Futures, and Other Derivatives. 3rd edition. Prentice Hall International, Upper Saddle River NJ 1997, ISBN 0-13-264367-7, S. 503–504 (Prentice-Hall International Editions).

Originalarbeiten:

• Fischer Black, Myron Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities. In: Journal of Political Economy. 81, 3, 1973, ISSN 0022-3808, S. 637–654.
• Robert C. Merton: Theory of Rational Option Pricing. In: The Bell Journal of Economics and Management Science. 4, 1973, ISSN 0005-8556, S. 141–183.

Theoretische Kritik:

• Nasser Saber: Speculative Capital. Financial Times u. a., London 1999
  • Vol. 1: The invisible hand of global finance. ISBN 0-273-64155-7,
  • Vol. 2: The nature of risk in capital markets. ISBN 0-273-64422-X.

Weblinks

• Nobel-Vorlesungen 1997 von Scholes und Merton
• American Mathematical Society zum 97er Wirtschaftsnobelpreis, mit weiteren Links
• Theorie und Online-Rechner (inkl. VAR und der Greeks) des Black-Scholes Optionsmodels von Jan-Hendrik Dörner, Goethe-Universität, Frankfurt am Main.
• Bradley University mehrseitige, informelle Darstellung mit umfangreicher Bibliographie
• Excel-Makros zur Berechnung des Optionspreises
• Hedge Simulator Zeigt das Ergebnis eines Delta und Delta-Gamma Hedge (Replikation) in diskreter Zeit unter einem Black-Scholes-Modell.
• Online-Rechner (inkl. Greeks & Sourcecode zum Download) des Black-Scholes Optionsmodels