Umbrella-Test

Der Umbrella-Test nach Mack und Wolfe ^[1] stellt die Verallgemeinerung des Jonkheere-Terpstra-Testes dar. Im Unterschied zu diesem Test wird jedoch nicht von einem monotonen Trend ausgegangen, sondern von Trends mit einem Gipfel.

Die Nullhypothese H₀ lautet für die Erwartungswerte G der Gruppen: $G_1\ =\ G_2\ = \ \dots\ = \ G_c$

Als Alternativhypothese H_A gilt: $G_1\ \leq\ G_2\ \leq\ \dots\ \leq\ G_l\ \geq \ G_{l+1}\ \geq \ \dots\ \geq \ G_c$, wobei mindestens eine strikte Ungleichung gilt.

Berechnung der Prüfgröße

Die Teststatistik MW lautet für eine Anzahl c von Gruppen mit einem Gipfel bei l mit jeweils n Messungen:

$MW\ = \ \sum_{r=1}^{l-1}\ \sum_{s=r+1}^{l} U_{rs}\ +\ \sum_{r=l}^{c-1}\ \sum_{s=r+1}^c U_{sr}$

Dabei ist U_rs bzw. U_sr für die r-te und das s-te Gruppe mit $1\leq r\ < s\leq c$ definiert als

$U_{rs}\ = \ \sum_{h=1}^{n_r}\ \sum_{i=1}^{n_s}\Psi (X_{rh}\ -\ X_{si})$

und

$U_{sr}\ =\ n_rn_s\ -\ U_{rs}$

mit

$\Psi (u)\ = \begin{cases} 1 & \text{wenn } u > 0 \\ 0 & \text{wenn } u \leq 0 \end{cases}\$ oder im Falle von Bindungen (gleichen Messwerten) $\ \Psi (u)\ = \begin{cases} 1 & \text{wenn } u > 0 \\ 1/2 & \text{wenn } u = 0 \\ 0 & \text{wenn } u < 0 \end{cases}$

Die berechnete Prüfgröße MW wird größer, wenn ein biphasischer Trend zwischen den Gruppen vorhanden ist.

Unter allgemeinen Bedingungen weist die Prüfgröße MW eine Normalverteilung auf.

Überprüfung der Signifikanz

Für den Erwartungswert μ_MW und dessen Varianz σ_MW gelten folgende Formeln, die sich letztendlich aus einer Addition der Statistiken des Jonkheere-Terpstra-Tests^[2][3] ergeben:

$\mu _{MW}\ = \ \frac{m_1^2\ +\ m_2^2\ -\ \sum_{i=1}^{c}n_i^2\ -\ n_l^2}{4}\$

und

$\ \sigma _{MW}\ = \ \sqrt{\frac{2(m_1^3+m_2^3)\ +\ 3(m_1^2+m_2^2)\ -\ \sum_{i=1}^c n_i^2(2n_i+3)\ -\ n_l^2(2n_l+3)\ +\ 12n_lm_1m_2\ -\ 12n_l^2N}{72}}$

mit

$N\ =\ \sum_{i=1}^cn_i,\quad m_1\ =\ \sum_{i=1}^ln_i\quad\text{und}\ m_2\ =\ \sum_{i=l}^cn_i$

Die daraus folgende Variable Z ist standardnormalverteilt, wenn die Gesamtzahl aller Stichproben größer 12 ist:

$Z\ = \ \frac{{MW}\ - \ \mu _{MW}}{\sigma _{MW}}$

Oder anders ausgedrückt: bei einem einseitigen Test auf 5% Niveau (Fehler 1. Art) ist der Test signifikant, wenn

${MW}\ >\ \mu _{MW}\ +\ 1,645\sigma _{MW}$

Literatur

1. ↑ Mack, H.B. und Wolfe, D.A. (1981): K-sample rank tests for umbrella alternatives. In: J. Amer. Statist. Ass. 76. 175–181
2. ↑ Terpstra, T.J. (1952): The asymptotic normality and consistency of Kendall's test against trend, when ties are present in one ranking. In: Indagationes Mathematicae. 14. 327–333
3. ↑ Jonkheere, A.R.(1954): A distribution-free K-sample test against ordered alternatives. In: Biometrika. 41. 133 - 145