Basiswechselmatrix

Der Basiswechsel oder die Basistransformation ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit den Übergang zwischen zwei verschiedenen Basen eines endlichdimensionalen Vektorraums. Dadurch ändern sich im Allgemeinen die Koordinaten der Vektoren. Der Basiswechsel kann durch eine Basiswechselmatrix beschrieben werden, mit der sich auch die Koordinaten bzgl. der neuen Basis ausrechnen lassen.

Der Basiswechsel ist ein Isomorphismus und somit kann jeder Basisvektor b_i' der neuen Basis B' als Linearkombination von Basisvektoren b_i der ursprünglichen Basis B dargestellt werden:

$b_i' = a_{i1} b_1 + a_{i2} b_2 + \dots + a_{in} b_n = \begin{pmatrix}a_{i1} \dots a_{in}\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix} = a_i^T \cdot \begin{pmatrix}b_1 \\ \vdots \\ b_n\end{pmatrix}$

Transformationsmatrix

Die Matrix des Basiswechsels, auch Transformationsmatrix zum Basiswechsel von B nach B' genannt, erhält man mit den obigen Vektoren a_i als Spaltenvektoren. Man bezeichnet sie mit $T_{B'}^B$:

$T_{B'}^B = \begin{pmatrix}\vec{a}_1 \dots \vec{a}_n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nn} \end{pmatrix}$

Diese Matrix ist quadratisch und invertierbar. Die entsprechende inverse Matrix ist $T_B^{B'}$ und beschreibt den Basiswechsel von B' zurück nach B. Die Transformationsmatrix $T_{B'}^B$ ist identisch mit der Matrix $M_B^{B'}(id)$ der Identitätsabbildung bei Verwendung unterschiedlicher Basen.

Die Berechnung der Koordinaten b bzgl. der Basis B eines Vektors erfolgt durch Multiplikation der Koordinaten b' bzgl. B' mit der Transformationsmatrix

$b = T_B^{B'} \cdot b'$

Man beachte hierbei die „Anordnung“ der Basen in der obigen Formel. Diese kehrt sich bezüglich der ursprünglichen Transformationsmatrix T um.

Beispiel

Wir betrachten zwei Basen B und C des $\mathbb{R}^3$:

$B = \left\{ b_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} , b_2 = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} , b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \right\}$

$C = \left\{ c_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} , c_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} , c_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\}$

wobei die Koordinatendarstellung der Vektoren die Vektoren bezüglich der Standardbasis beschreibt.

Die Abbildung eines Vektors

v = β₁b₁ + β₂b₂ + β₃b₃ = γ₁c₁ + γ₂c₂ + γ₃c₃

ergibt sich durch die Darstellung der alten Basisvektoren (b₁,b₂,b₃) bezüglich der neuen Basis (c₁,c₂,c₃) und deren Gewichtung mit (β₁,β₂,β₃).

Um die Matrix der Basistransformation $T_{C}^B$ von B nach C zu berechnen, müssen wir die drei linearen Gleichungssysteme

c_i = T_1ib₁ + T_2ib₂ + T_3ib₃

nach den 9 Unbekannten T_ji auflösen.

Dies kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus für alle 3 Gleichungssysteme simultan erfolgen. Dazu wird folgendes LGS aufgestellt:

$\left( \begin{array}{c c c | c c c} 1 & 0 & 1 & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right)$

Durch Umformen mit elementaren Zeilenoperationen lässt sich die linke Seite auf die Einheitsmatrix bringen und auf der rechten Seite erhält man die Matrix

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix}$.

Wir betrachten einen Vektor v, der bezüglich der Standardbasis die Koordinatendarstellung (5,2,7) besitzt. Bezüglich B ist

$v = 2b_1 - b_2 + 3b_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_B$.

Das Subskript bezeichne die zur Koordinatendarstellung gehörige Basis. Um nun die Koordinatendarstellung bezüglich C zu berechnen, müssen wir die Transformationsmatrix auf diesen Spaltenvektor anwenden:

$\begin{pmatrix} \frac{3}{2} & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & -1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix}_B = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}_C$.

Also ist

$v = 5c_1 + 2c_2 + 0c_3 = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}_C$.