Verallgemeinerte Koordinate

Die generalisierten Koordinaten sind ein Begriff aus der theoretischen Physik im Zusammenhang mit dem Hamilton- und dem Lagrange-Formalismus. Sie dienen der Beschreibung verallgemeinerter Bewegungsgleichungen. Sie sind meist ein reduzierter Satz von Koordinaten (Im Vergleich zu z. B. Kartesischen Koordinaten benötigt man beim Mathematischen Pendel nur die Angabe des Auslenkwinkels $\varphi$ und die Seillänge l.), beschreiben aber den aktuellen Systemzustand vollständig.

Ausnutzung von Symmetrien

Generalisierte Koordinaten sind insbesondere bei der Beschreibung von Bewegungen hilfreich, die eine besondere Symmetrie aufweisen oder/und Zwangsbedingungen unterliegen. Geeignete generalisierte Koordinaten können den Aufwand zur Problemlösung immens reduzieren. Als anschauliches Beispiel sei die Bewegung eines Punktes auf einer Kugeloberfläche als Zwangsbedingung genannt: hier eignen sich zur Beschreibung räumliche Kugelkoordinaten $(\rho,\vartheta,\varphi)$ (s.u.) wesentlich besser als kartesische Koordinaten $\big (x,y,z)$:

• Die Koordinate ρ ist konstant
• Die verbleibenden beiden Koordinaten $\vartheta$ und $\varphi$ sind unabhängig voneinander

Das Polarkoordinatensystem erlaubt also eine elegantere Darstellung durch nur zwei voneinander unabhängige Koordinaten.

Beispiele

kartesische Koordinaten

So hat man im 3D-Raum zunächst einmal die normalen kartesischen Koordinaten: $\big (x,y,z)$

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix}$

Polar-, Zylinder- und Kugelkoordinaten

Durch Einführen eines Abstandes ρ zum Nullpunkt und eines Winkels $\varphi$ zur x-Achse erhält man für z = 0 Polarkoordinaten

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ 0 \end{pmatrix}$

und für $z \ne 0$ Zylinderkoordinaten

mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ z \end{pmatrix}$

Führt man hingegen zusätzlich zu $\varphi$ einen zweiten Winkel $\vartheta$ zur z-Achse ein, so erhält man Kugelkoordinaten mit Richtungsvektor: $\vec r = \begin{pmatrix} \rho \sin \vartheta \cos \varphi \\ \rho \sin \vartheta \sin \varphi \\ \rho \cos \vartheta \end{pmatrix}$

$\rho , \varphi , z , \vartheta$ entsprechen dabei den generalisierten Koordinaten und könnten stattdessen genauso gut mit $q_1,\dots,q_n$ bezeichnet werden, wie es in Lehrbüchern zur theoretischen Mechanik gebräuchlich ist.

Einheitsvektoren

Es kann manchmal hilfreich sein, Einheitsvektoren in generalisierten Koordinaten zu finden. Hier gilt allgemein:

Einheitsvektor: $\vec e_{q_i} = \frac{\frac{\partial \vec r}{\partial q_i}}{\left \vert \frac{\partial \vec r}{\partial q_i}\right \vert }$

Beispiel: Finde Einheitsvektor in Kugelkoordinaten in Richtung $\vartheta$

$\vec r = \begin{pmatrix} \rho \sin \vartheta \cos \varphi \\ \rho \sin \vartheta \sin \varphi \\ \rho \cos \vartheta \end{pmatrix}$

$\frac{\partial \vec r }{\partial \vartheta } = \begin{pmatrix} \rho \cos \vartheta \cos \varphi \\ \rho \cos \vartheta \sin \varphi \\ -\rho \sin \vartheta \end{pmatrix}$

$\left \vert \frac{\partial \vec r }{\partial \vartheta }\right \vert = \sqrt{\rho^2 \cos^2 \vartheta \cos^2 \varphi + \rho^2 \cos^2 \vartheta \sin^2 \varphi + (-\rho )^2 \sin^2 \vartheta } =$

$= \rho \sqrt{\cos^2 \vartheta \cos^2 \varphi + \cos^2 \vartheta \sin^2 \varphi + \sin^2 \vartheta } =$

$= \rho \sqrt{\cos^2 \vartheta ( \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi ) + \sin^2 \vartheta } =$

$= \rho \sqrt{\cos^2 \vartheta + \sin^2 \vartheta } =$

$= \rho \sqrt{1} = \rho$

$\implies \vec e_{\vartheta} = \begin{pmatrix} \cos \vartheta \cos \varphi \\ \cos \vartheta \sin \varphi \\ -\sin \vartheta \end{pmatrix}$