Vollkonjugat

Vollkonjugat

Als Vollkonjunktion (auch: Minterm, Miniterm oder Elementarkonjunktion) bezeichnet man in der Aussagenlogik einen speziellen Konjunktionsterm, d. h. eine Anzahl von Buchstaben (Literalen), die alle durch ein logisches und (\wedge) verknüpft sind. Dabei müssen alle n Variablen der betrachteten n-stelligen booleschen Funktion im Konjunktionsterm vorkommen, um von einer Vollkonjunktion sprechen zu können. Vollkonjunktionen lassen sich zu einer disjunktiven Normalform zusammensetzen, was unter anderem beim Verfahren nach Quine und McCluskey vonnöten ist.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

Beispiele für 3-stellige boolesche Funktionen

  • e_1 \wedge e_2 \wedge e_3
  • e_1 \wedge \neg e_2 \wedge e_3
  • \neg e_1 \wedge e_2 \wedge e_3

Standardnummerierung der Vollkonjunktionen

Vollkonjunktionen lassen sich auf natürliche Weise nummerieren. Man denkt sich dabei die Variablen in einer Reihe notiert, z. B. XnXn − 1...X2X1. Kommt für eine konkrete Vollkonjunktion das jeweilige Literal Xi negiert vor, so ersetzt man es durch eine 0, sonst durch eine 1. Es entsteht eine Binärzahl, die man dezimal interpretieren kann. Diese Dezimalzahl bezeichnet man als die Nummer oder den Index des Minterms. Will man diesen Minterm über seinen Index i bezeichnen, so schreibt man mi. Analog geht dies mit den Maxtermen Mi bei Disjunktionen.

Vergleich Minterm / Maxterm

In folgender Tabelle ist der Unterschied zwischen der Maxterm- und Mintermdarstellung ersichtlich:

Index x2 x1 x0 Minterm Maxterm
0 0 0 0 \neg x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0  x_2\vee x_1\vee x_0
1 0 0 1 \neg x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0  x_2\vee x_1\vee\neg x_0
2 0 1 0 \neg x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0  x_2\vee\neg x_1\vee x_0
3 0 1 1 \neg x_2\wedge x_1\wedge x_0  x_2\vee\neg x_1\vee\neg x_0
4 1 0 0 x_2\wedge\neg x_1\wedge \neg x_0  \neg x_2\vee x_1\vee x_0
5 1 0 1 x_2\wedge\neg x_1\wedge x_0 \neg x_2\vee x_1\vee \neg x_0
6 1 1 0 x_2\wedge x_1\wedge \neg x_0 \neg x_2\vee \neg x_1\vee x_0
7 1 1 1 x_2\wedge x_1\wedge x_0 \neg x_2\vee \neg x_1\vee \neg x_0

Realisierung von Decoder-Schaltungen mit Mintermen / Maxtermen:

Minterm Maxterm
0 NOR-Gatter AND-Gatter
1 OR-Gatter NAND-Gatter

Bezug zum Karnaugh-Veitch-Diagramm

Man spricht auch vom Minterm einer Funktion F, wenn dieser F impliziert, d. h. wenn gilt

M(X) = 1 \Rightarrow F( X) = 1.

Dabei ist X der Vektor der Eingangsvariablen. Derartige Minterme M entsprechen umkehrbar eindeutig denjenigen Feldern eines Karnaugh-Veitch-Diagramms, die für die betrachtete Funktion den Wert 1 enthalten.

Siehe auch


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