Wahrscheinlichkeitsmaß

Wahrscheinlichkeitsmaß

In der Wahrscheinlichkeitstheorie dient ein Wahrscheinlichkeitsmaß zur mathematischen Beschreibung einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion P, die jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) (also eine Zahl zwischen 0 und 1) zuordnet und folgende Eigenschaften hat:

  • Normierung: Die Ergebnismenge Ω hat die Wahrscheinlichkeit 1:
 P\left(\Omega\right) \, = \, 1
  • σ-Additivität: Das Ereignis, das eintritt, indem eines von mehreren einander ausschließenden Ereignissen eintritt, hat eine Wahrscheinlichkeit, die gleich der Summe der einzelnen Wahrscheinlichkeiten der einander ausschließenden Ereignisse ist. Für jede Folge von paarweise disjunkten Ereignissen A_1,A_2, \dots gilt:
 P\left(\bigcup_{i\ge1} A_i\right) \, = \, \sum_{i\ge1} P\left(A_i\right)

Mathematische Formulierung

Sei \left(\Omega,\mathcal F\right) ein Messraum. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist eine Funktion (Mathematik) P\colon\, \mathcal F\to \R_+, die die folgenden Kolmogorov-Axiome erfüllt:

  • P(Ω) = 1
  • P(A)+P(B)-P(A\cup B)=P(A\cap B), \forall A, B \in \mathcal F
  • Für jede Folge (A_n)_{n\ge 1} paarweise disjunkter Mengen A_n\cap A_m = \emptyset,  \forall n\neq m gilt P(\bigcup_{n\ge 1} A_n)= \sum_{n\ge 1} P(A_n).

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist somit ein Maß P auf einem Messraum \left(\Omega,\mathcal F\right) mit der Eigenschaft P\left(\Omega\right)=1. Die Kombination von Ergebnismenge, Ereignisraum und Wahrscheinlichkeitsmaß, d. h. den Maßraum \left(\Omega,\mathcal F,P\right), bezeichnet man als Wahrscheinlichkeitsraum.


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