Maßtheorie

Die Maßtheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik, das die elementargeometrischen Begriffe Streckenlänge, Flächeninhalt und Volumen verallgemeinert und es dadurch ermöglicht, auch komplizierteren Mengen ein Maß zuzuordnen. Sie bildet das Fundament der modernen Integrations- und Wahrscheinlichkeitstheorie.

Als Maß versteht man in der Maßtheorie eine Zuordnung von reellen Zahlen zu einem Teilmengensystem über einer Grundmenge. Die Zuordnung und das Teilmengensystem sollen dabei bestimmte Eigenschaften besitzen. In der Praxis ist häufig nur eine partielle Zuordnung von vornherein bekannt. Zum Beispiel ordnet man in der Ebene Rechtecken das Produkt ihrer Kantenlängen als Flächeninhalt zu. Die Maßtheorie untersucht nun einerseits, ob sich in konsistenter Weise und eindeutig diese Zuordnung auf größere Teilmengensysteme erweitern lässt, und andererseits, ob dabei zusätzliche gewünschte Eigenschaften erhalten bleiben. Im Beispiel der Ebene möchte man natürlich auch Kreisscheiben einen sinnvollen Flächeninhalt zuordnen und man wird gleichzeitig neben den Eigenschaften, die man von Maßen ganz allgemein verlangt, auch Translationsinvarianz fordern, das heißt, der Inhalt einer Teilmenge der Ebene ist unabhängig von ihrer Position.

Motivation

Der komplizierte Aufbau der Maßtheorie wird dadurch verursacht, dass es nicht möglich ist, eine Maßfunktion zu finden, die jeder beliebigen Teilmenge der reellen Zahlenebene ein Maß zuzuordnet, das dem klassischen Flächeninhalt sinnvoll entspricht. Schon bei eindimensionalen Zahlengeraden scheitert dieser Versuch und auch bei höheren Dimensionen gelingt dies nicht. Die Frage, ob dies möglich ist, wurde erstmals 1902 von Henri Lebesgue in seiner Pariser Thèse als Maßproblem formuliert.

An eine sinnvolle Entsprechung des Flächeninhalts (um vom 2-dimensionalen Fall auszugehen) werden dabei die folgenden Forderungen gestellt:

1. Ein Quadrat mit der Kantenlänge eins hat den Flächeninhalt eins („Normiertheit“).
2. Die Verschiebung, Drehung oder Spiegelung einer beliebigen Fläche ändert nicht ihren Flächeninhalt („Bewegungsinvarianz“)
3. Endliche oder abzählbare Vereinigungen von paarweise disjunkten Flächen haben den gleichen Flächeninhalt wie die Summe aller Teilflächen (σ-Additivität)

1905 konnte Giuseppe Vitali zeigen, dass dieses Problem für beliebige Teilmengen nicht lösbar ist. Schränkt man jedoch die zu messenden Mengen ein und betrachtet anstatt beliebiger Teilmengen nur ein bestimmtes Mengensystem, so kann man das Maßproblem lösen und auf diesem Mengensystem ein Maß mit den gewünschten Eigenschaften definieren (siehe Definition Maß).

Einen anderen Weg wählte Felix Hausdorff, der das Inhaltsproblem formulierte, indem er die dritte Forderung abschwächte und sich auf endliche Vereinigungen beschränkte. Er konnte 1914 zeigen, dass dieses im Allgemeinen (Dimension $p \geq 3$) auch nicht lösbar ist. Ausnahmen bilden die reellen Zahlen und die reelle Ebene, für die es eine sogenannte Inhaltsfunktion gibt (siehe Definition Inhalt).

Die Maßtheorie beschäftigt sich also mit verschiedenen Mengensystemen und den Inhaltsfunktionen, die man darauf definieren kann. Dabei werden nicht nur reelle Mengensysteme betrachtet, sondern abstrakte Mengensysteme erzeugt durch beliebige Grundmengen; womit sich, bei geringem Mehraufwand, die Ergebnisse besser in Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie anwenden lassen.^[1]

Die für den modernen Maßbegriff zentrale Eigenschaft der σ-Additivität wurde von E. Borel 1909 eingeführt und wurde anfangs nicht unkritisch gesehen. Die jordansche Konstruktion führt zu lediglich endlich additiven Inhalten, die endliche Additivität (eine schwächere Eigenschaft als σ-Additivität) ist hier eine Folgerung aus der Definition des Inhalts. Borel postuliert dagegen die σ-Additivität des Maßes und bestimmt so die Maße von Mengen, welche in einer unter abzählbaren Anwendungen von bestimmten Mengenoperationen vollständingen σ-Algebra enthalten sind. Henry Lebesgues Definition des Integrals 1902 erhält jedoch die σ-Additivität. Die Einschränkung der Additivität auf endlich oder abzählbar viele Mengen kann als Ausweg aus dem (stilisierten) Maßparadoxon von Zenon angesehen werden.^[2]

Maßtheorie als Grundlage der Wahrscheinlichkeitsrechnung, wie von Kolmogorow etabliert, verwendet im Allgemeinen auf 1 normierte Maße als Wahrscheinlichkeiten. Gemeinhin wird dies mit den großen technischen Vorteilen begründet, so auch bei Kolmogorow. Hiervon abgewichen wird gelegentlich in subjektivistischen Wahrscheinlichkeitsinterpretationen, besonders prominent bei Bruno de Finetti. Andererseits existieren Dutch-Book-Argumente für die σ-Additivität von Graden persönlicher Überzeugung (engl. "degree of belief"). ^{[3] [4] [5]}

Definitionen und Beispiele

Die zu messenden Mengen fasst man in Mengensysteme zusammen, die unterschiedlich stark gegenüber Mengenoperationen abgeschlossen sind. Bedeutende maßtheoretische Beispiele von Mengensystemen sind:

Potenzmenge, σ-Algebra, Halbring, Ring, Algebra, Dynkin-System oder durchschnittstabiles Mengensystem.

Dabei ist die Potenzmenge das umfassendste aller Mengensysteme und enthält jede beliebige Teilmenge der Grundmenge. Die σ-Algebra, die das wichtigste Mengensystem der Maßtheorie ist, enthält im Allgemeinen weniger Mengen als die Potenzmenge.

Für die Maßtheorie wichtige Inklusionen:

• Jede Potenzmenge ist eine σ-Algebra und ein Dynkin-System
• Jede σ-Algebra ist eine Algebra
• Jede Algebra ist ein Ring
• Jeder Ring ist ein Halbring.
• Jedes Dynkin-System und jeder Halbring ist ein durchschnittsstabiles Mengensystem.

Auf diesen Mengensystemen definiert man Mengenfunktionen wie beispielsweise Inhalt, Prämaß, Maß oder Äußeres Maß, die jeder Menge des Mengensystem einen Wert in $[0,\infty]$ (der erweiterten, positiven, reellen Achse) zuordnen. Insbesondere übertragen sich alle Eigenschaften von Mengenfunktionen auf Inhalte, Prämaße, Maße und Äußere Maße.

Es ist zu beachten, dass die genannten Begriffe (Inhalt, Prämaß, Maß) in der Literatur uneinheitlich definiert werden, insbesondere in Bezug auf das zugrundeliegende Mengensystem. So wird zum Beispiel der Begriff Inhalt teilweise auf einem Ring ^[6] , Halbring^[7] oder für beliebige Mengensysteme^[8], die die leere Menge enthalten, definiert. Im folgenden sei deshalb die allgemeine Variante angegeben mit Verweis auf die Folgerungen für die Wahl spezieller Mengensysteme.

Inhalt

Eine Funktion μ, die jeder Menge A aus dem Mengensystem $\mathcal{C}$ mit $\emptyset\in\mathcal{C}$ über Ω einen Wert μ(A) zuordnet, der in $[0,\infty]$ ist, heißt Inhalt, falls für diese Abbildung $\mu : \mathcal{C} \rightarrow [0,\infty]$ gilt:

• Die leere Menge hat den Wert null: $\mu (\emptyset) = 0$.
• Die Funktion ist endlich additiv. Sind also $A_1,A_2, \dots, A_n$ endlich viele paarweise disjunkte Mengen aus $\mathcal{C}$ und $\textstyle \bigcup_{i=1}^n A_i\in\mathcal{C}$ dann gilt

$\mu\left( \bigcup_{i=1}^n A_i \right)= \sum_{k=1}^{n}{\mu(A_k)}$.

Eigenschaften

im Halbring

Falls $\mathcal{C}=\mathcal{H}$ ein Halbring ist, dann gilt:

• Jeder Inhalt μ ist monoton, es gilt folglich:

$A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ für $A,B\in \mathcal{H}$

• Jeder Inhalt μ ist subadditiv, es gilt also:

$\mu(A \cup B) \leq \mu(A)+\mu(B)$ für A,B aus $\mathcal{H}$ mit $A\cup B\in \mathcal{H}$

• Fortsetzbarkeit: Man kann zu jedem Inhalt μ auf $\mathcal{H}$ einen Inhalt μ' auf dem von $\mathcal{H}$ erzeugten Ring $\mathcal{R}$ konstruieren, indem man μ' definiert durch:

$\mu ' (A):= \sum_{j=1}^{m} \mu (A_j)$

Aufgrund der Eigenschaften eines Halbringes gibt es für alle $A\in \mathcal{R}$ Mengen $A_1, A_2,\dots, A_m \in \mathcal{H}$ mit $\textstyle A= \bigcup_{j=1}^{m} A_j$. Die Fortsetzung μ' ist eindeutig.

im Ring

Falls $\mathcal{C}=\mathcal{R}$ ein Ring ist, dann gilt:

• Subtraktivität: für $B \subseteq A$ mit $\mu (B) < \infty$ gilt $\mu (A \setminus B) = \mu (A) - \mu (B).$
• $A,B\in\mathcal{R} \Rightarrow \mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)= \mu(A)+\mu(B)$
• Subadditivität: $A_i\in \mathcal{R}\; (i=1,2,\ldots,n) \Rightarrow \mu\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right)\leq \sum_{i=1}^n \mu(A_i)$
• σ-Superadditivität: Seien $A_i\in \mathcal{R}\; (i=1,2,\ldots)\$ paarweise disjunkt mit $\bigcup_{i=1}^\infty A_i\in \mathcal{R}$. Dann folgt aus der Additivität und Monotonie $\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)\leq \mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)$
• Falls μ endlich ist, also für alle $A \in\mathcal{R} \Rightarrow \mu(A)<\infty$ gilt, dann gilt die Siebformel von Poincaré und Sylvester:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^nA_i\right) = \sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\!\!\sum_{I\subseteq\{1,\dots,n\},\atop |I|=k}\!\!\!\!\mu\left(\bigcap_{i\in I}A_i\right)$

mit $A_i\in \mathcal{C}$ für $i\in\{1,\ldots,n\}$.

Nullmenge

→ Hauptartikel: Nullmenge

Eine Menge A aus $\mathcal{C}$ heißt Nullmenge, wenn μ(A) = 0 gilt.

Prämaß

Ein σ-additiver (oder abzählbar additiver) Inhalt heißt Prämaß. Sei $\mu : \mathcal{C} \rightarrow [0,\infty]$ ein Inhalt, dann ist μ ein Prämaß, wenn für jede Folge $(A_i)_{i\in\mathbb{N}}$ abzählbar vieler paarweise disjunkter Mengen aus $\mathcal{C}$ mit $\textstyle \bigcup_{i=1}^\infty A_i \in \mathcal{C}$ gilt:

$\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty \mu(A_i).$

Eigenschaften

im Halbring

Falls $\mathcal{C}=\mathcal{H}$ ein Halbring ist, dann gilt:

• Fortsetzbarkeit: Man kann auch zu jedem Prämaß μ auf $\mathcal{H}$ ein Prämaß μ' auf dem von $\mathcal{H}$ erzeugten Ring $\mathcal{R}$ konstruieren, indem man μ' definiert durch:

$\mu ' (A):= \sum_{j=1}^{m} \mu (A_j)$ für $A = \bigcup_{j=1}^m A_j,$ mit $A_i \cap A_j = \varnothing \quad \forall i \neq j$

Auch hier ist die Fortsetzung μ', wie bei der Fortsetzung von einem Inhalt, eindeutig.

im Ring

Falls $\mathcal{C}=\mathcal{R}$ ein Ring ist, dann gilt:

• σ-subadditiv (Sigma-subadditiv), es gilt folglich:

$\mu\left(\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \right) \leq \sum_{j\in\mathbb{N}} \mu(A_j)$ für jede Folge von Mengen $(A_j)_{j\in\mathbb{N}}$ in $\mathcal{C}$ mit $\bigcup_{j\in\mathbb{N}} A_j \in \mathcal{C}$

• Stetigkeit von oben: Ist $(A_i)_{i\in\N}$ eine absteigende Folge von Mengen aus $\mathcal{R}$ (d.h.$A_i\subseteq A_j$ für alle $i\geq j$) mit $\mu(A_1)< \infty$ und ist $\bigcap_{i\in\N}A_i\in \mathcal{R}$, so ist $\mu\left(\bigcap_{i\in\N}A_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(A_i)$.
• Stetigkeit von unten: Ist $(A_i)_{i\in\N}$ eine aufsteigende Folge von Mengen aus $\mathcal{R}$ (d.h.$A_i\subseteq A_j$ für alle $i\leq j$) und ist $\bigcup_{i\in\N}A_i\in \mathcal{R}$, so ist $\mu\left(\bigcup_{i\in\N}A_i\right) = \lim_{i\to\infty} \mu(A_i)$.

Maß

Sei $\mu \colon \mathcal{A} \rightarrow \overline {\R}$ eine Funktion, die jeder Menge A aus der σ-Algebra $\mathcal{A}$ über Ω einen Wert μ(A) in der Menge $\overline {\R}$ der erweiterten reellen Zahlen zuordnet (siehe unten wegen möglicher Verallgemeinerungen). Man nennt μ ein Maß, falls folgende Bedingungen erfüllt sind:

• Die leere Menge hat das Maß null: $\mu (\emptyset) = 0$.
• Positivität: $\mu(A) \geq 0$ für alle $A \in \mathcal{A}$.
• Das Maß ist abzählbar additiv (auch σ-additiv): Sind A₁, A₂, A₃, ... abzählbar viele paarweise disjunkte Mengen aus $\mathcal{A}$ und ist A ihre Vereinigungsmenge, dann gilt für deren Maß μ(A):

$\mu{}(A)= \sum_{k=1}^{\infty}{\mu{}(A_k)}$.

Damit ist das Maß auch endlich additiv, indem man die Folge $A_1, A_2,\dots, A_n, A_{n+1}:=\emptyset,A_{n+2}:=\emptyset, \dots$ paarweise disjunkter Mengen aus $\mathcal{A}$ wählt.

Somit ist jedes Maß ein Prämaß über einer σ-Algebra, insbesondere gelten alle Eigenschaften für Inhalte und Prämaße. Man beachte, dass in Teilen der Literatur ein Maß wie das Prämaß definiert wird und das zugrunde liegende Mengensystem $\mathcal{C}$ mit $\emptyset\in\mathcal{C}$ über Ω beliebig ist.

Eigenschaften

endlich

Ein Maß μ heißt endlich, wenn gilt $\mu ( \Omega )< \infty$. Aufgrund der Monotonie ist dies gleichbedeutend damit, dass für alle $A \in \mathcal{A}$ gilt $\mu ( A ) < \infty$.

σ-endlich

Ein Maß heißt σ-endlich (oder σ-finit), wenn es eine abzählbare Folge messbarer Mengen $\left\{A_1, A_2, A_3, \dots \right\}$ gibt, die alle ein endliches Maß $\mu{}(A_k) < \infty$ besitzen und Ω überdecken. σ-endliche Maße haben einige schöne Eigenschaften, die gewisse Analogien zu den Eigenschaften separabler topologischer Räume aufweisen.

vollständig

Ein Maß auf der σ-Algebra $\mathcal A$ heißt vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge Element von $\mathcal{A}$ ist.

Messraum, messbare Mengen

Sei $\mathcal{A}$ eine σ-Algebra aus Teilmengen von Ω. Dann nennt man das Paar $(\Omega, \mathcal{A})$ Messraum oder messbarer Raum. Eine Funktion, die die Struktur eines Messraums erhält, heißt messbare Funktion. Analog zu stetigen Funktionen zwischen topologischen Räumen fordert man die Messbarkeit von Urbildern messbarer Mengen.

Jedes Element A von $\mathcal{A}$ heißt messbar, da die charakteristische Funktion χ_A messbar ist. Dabei ist zu beachten, dass man in der Maßtheorie zum einen von der Messbarkeit bezüglich eines Messraumes und zum anderen von der Messbarkeit nach Carathéodory bezüglich eines äußeren Maßes spricht. Letztere kann man aber äquivalent als Messbarkeit bezüglich des durch das äußere Maß induzierten Messraumes betrachten.

Beispiele für Messräume:

• Jede Menge bildet mit ihrer Potenzmenge einen Messraum.
• Sei A eine Teilmenge von Ω. Dann ist $\{\Omega,\, \emptyset,\, A,\, \Omega\setminus A\}$ die von A erzeugte σ-Algebra. Diese σ-Algebra ist zugleich die kleinstmögliche σ-Algebra, die A enthält.

Maßraum

Eine Struktur $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$ heißt Maßraum, wenn $(\Omega, \mathcal{A})$ ein Messraum und μ ein auf diesem Messraum definiertes Maß ist. Ein Beispiel für einen Maßraum ist der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{A},P)$ aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Er besteht aus der Ergebnismenge Ω, der Ereignisalgebra $\mathcal{A}$ und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P.

fast überall

Eine Eigenschaft gilt fast überall (oder μ-fast überall oder für μ-fast alle Elemente) in $(\Omega, \mathcal{A} , \mu )$, wenn es eine Nullmenge gibt, sodass alle Elemente im Komplement die Eigenschaft haben.

Also Eigenschaft A gilt fast überall in $\Omega \ \Leftrightarrow \ \exists \ N \in \mathcal{A}$ mit μ(N) = 0 und A gilt für alle $\omega \in \Omega \setminus N$.

Beachte, dass die Menge, wo sie nicht gilt, nicht unbedingt messbar ist. In der Stochastik wird auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega,\mathcal{A},P)$ die Eigenschaft fast überall auch als fast sichere (oder P-fast sichere) Eigenschaft bezeichnet.

Vervollständigung

Teilmengen von Nullmengen nennt man vernachlässigbar. Ein Maßraum heißt vollständig, wenn alle vernachlässigbaren Mengen messbar sind. Es bezeichne $\mathcal{N}$ die Menge aller vernachlässigbaren Mengen.

Das Tripel $(\Omega, \mathcal{A}', \mu')$ nennt man Vervollständigung von $(\Omega, \mathcal{A}, \mu)$, wenn man setzt: $\mathcal{A}':= \{A\Delta N:A\in\mathcal{A},N\in \mathcal{N}\}$ (wobei Δ die symmetrische Differenz ist) und μ'(AΔN): = μ(A).

Diese Definition ist sinnvoll, denn wenn AΔN = A'ΔN' (mit $A, A'\in\mathcal{A}, N, N'\in \mathcal{N})$, dann ist $A\Delta A' = N\Delta N'\in \mathcal{N}$, somit μ(A) = μ(A').

Es ist $\mathcal{A}'\supseteq\mathcal{A}, \mu'|_\mathcal{A} = \mu,$ und $\mathcal{A}'$ ist vollständig; daher der Name Vervollständigung.

Äquivalente Definition

Eine äquivalente Definition der Vervollständigung ist:

$\mathcal{A}':=\{A\subseteq\Omega:$ Es existieren $B, C\in\mathcal{A}$ mit $B\subseteq A\subseteq C$ und $\mu(C\setminus B)=0\}$.

Beispiele

• Das Nullmaß, das jeder Menge A den Wert μ(A)=0 zuordnet.
• Ein Beispiel für einen Inhalt ist der Jordaninhalt, mit dessen Hilfe man das mehrdimensionale Riemann-Integral definieren kann.
• Das Zählmaß ordnet jeder Teilmenge A einer endlichen oder abzählbar unendlichen Menge die Anzahl ihrer Elemente zu, μ(A)=|A|.
• Das Lebesgue-Maß auf der Menge der reellen Zahlen $\R$ mit der Borelschen σ-Algebra, definiert als translationsinvariantes Maß mit μ([0,1])=1.
• Das Haar-Maß auf lokal kompakten topologischen Gruppen.
• Ein Wahrscheinlichkeitsmaß oder normiertes Maß ist ein Maß mit μ(Ω)=1.
• Das Zählmaß auf der Menge $\N$ der natürlichen Zahlen ist unendlich, aber σ-endlich.
• Das kanonische Lebesgue-Maß auf der Menge $\R$ der reellen Zahlen ist ebenfalls unendlich, aber σ-endlich, denn $\R$ kann als Vereinigung abzählbar vieler endlicher Intervalle $\left[ k, k+1\right]$ dargestellt werden.

Verallgemeinerungen

Eine mögliche Verallgemeinerung betrifft den Wertebereich der Funktion μ.

• Man kann negative reelle oder komplexe Werte zulassen (signiertes Maß oder komplexes Maß).
• Ein weiteres Beispiel einer Verallgemeinerung ist das Spektralmaß, dessen Werte lineare Operatoren sind. Dieses Maß wird insbesondere in der Funktionalanalysis für den Spektralsatz benutzt.
• Allgemein lassen sich Banachraum-wertige Maße betrachten. Siehe Vektorielles Maß. Die beiden letztgenannten sind ebensolche.

Eine andere Möglichkeit der Verallgemeinerung ist die Definition eines Maßes auf der Potenzmenge.

• Siehe äußeres Maß
• Eine andere Verallgemeinerung sind die zufälligen Maße (random measures), so ist beispielsweise das Lévy-Maß ein zufälliges Maß und wird unter anderem benötigt, um Lévy-Prozesse zu charakterisieren. Es gibt die erwartete Anzahl an Sprüngen des Prozesses dieser Höhe im Einheitsintervall an.

Historisch wurden zuerst endlich additive Maße eingeführt, die heute auch als Inhalte bezeichnet werden. Die moderne Definition, derzufolge ein Maß abzählbar additiv ist, erwies sich jedoch als nützlicher.

Ergebnisse

Der Satz von Hadwiger klassifiziert alle möglichen translationsinvarianten Maße im $\R^n$: das Lebesgue-Maß ist ebenso ein Spezialfall wie die Euler-Charakteristik. Verbindungen ergeben sich ferner zu den Minkowski-Funktionalen und den Quermaßen.

Siehe auch

• Banach-Tarski-Paradoxon
• Vitali-Menge

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage, Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-21390-2.
• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage, De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Gebunden), ISBN 3-11-013625-2 (Broschiert).
• D. H. Fremlin: Measure Theory, Band 1–5

Einzelnachweise

1. ↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4. Auflage. Springer, Berlin 2005, S. 3–6
2. ↑ Brian Skyrms: Zeno's Paradox of Measure. In: Cohen, Laudan (Ed.): Physics, Philosophy and Psychoanalysis: Essays in Honor of Adolf Grünbaum, pp. 223-254. Boston Studies in the Philosophy of Science, 76. Dordrecht, Holland; Boston; Lancaster: Reidel, 1983.
3. ↑ Colin Howson: De Finetti, Countable Additivity, Consistency and Coherence. Br J Philos Sci (2008) 59(1): 1-23 doi:10.1093/bjps/axm042.
4. ↑ H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1992, S. 9-10.
5. ↑ Brian Skyrms, ebd.
6. ↑ H. Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Auflage. de Gruyter, Berlin 1992, S. 9-10
7. ↑ J. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie 6. Auflage. Springer, Berlin 2009, S. 27
8. ↑ K.D. Schmidt: Maß- und Wahrscheinlichkeit Springer, Berlin 2009, S. 43