Weg des Betrunkenen

Der Weg des Betrunkenen ist ein Bild aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, dass zur Veranschaulichung einer zufalligen Bewegung verwendet wird. Es wurde vermutlich durch einen Brief von Karl Pearson in der Zeitschrift Nature geprägt, inspiriert durch die Untersuchung der Verbreitung von Insektenpopulationen. Auch eine weitgehende Lösung für das ursprüngliche Problem wurde von Lord Rayleigh in einem weiteren Leserbrief desselben Bandes gegeben.

“A man starts from a point O and walks l yards in a straight line; he then turns through any angle whatever and walks another l yards in a second straight line. He repeats this process n times. I require the probability that after these n stretches he is at a distance between r and r + dr from his starting point, O.”

Der Betrunkene geht von einem Startpunkt eine Strecke der Länge l in eine Richtung, verliert Gleichgewicht und Orientierung und dreht sich in einem zufälligen Winkel und setzt seinen Weg mit der nächsten Teilstrecke der Länge l fort. Die Lösung von Rayleigh besagt, dass der die Verteilung der wahrscheinlichen Positionen des Betrunkenen nach vielen Schritten von der Normalverteilung angenähert wird.

^[1]

→ Hauptartikel Random Walk

Der Begriff wird üblicherweise für Zufallsbewegungen nach ähnlichem Schema verwendet, der einfachste, häufig betrachtete Fall ist der Random Walk auf dem Zahlenstrahl. Der „Betrunkene“ bewegt sich mit Schritten der Länge l, jeweils zufällig nach links mit einer festen Wahrscheinlichkeit p, und entsprechend nach rechts mit der Wahrscheinlichkeit 1-p. ^[2]

Die Frage, wie wahrscheinlich eine Rückkehr des Irrläufers zum Ursprung ist, hängt überraschend von der Dimensionalität ab, Shizuo Kakutani formulierte dazu, im Bild bleibend:

“A drunk man will find his way home, but a drunk bird may get lost forever.”

Dies bezieht sich auf George Pólyas Theorem von 1921, veröffentlicht in den Mathematischen Annalen, in der die Rekurrenz von Irrfahrten in der Ebene bewiesen wurde und das im dreidimensionalen Raum nicht mehr gilt. ^[3]

Literatur

• Barry D. Hughes: Random Walks and Random Environments: Volume 1: Random Walks. Oxford University Press, USA 1995, ISBN 0-19-853788-3.

Einzelnachweise

1. ↑ Reinhard Mahnke, Jevgenijs Kaupužs, Ihor Lubashevsky: Physics of stochastic processes: how randomness acts in time. Wiley-VCH, Weinheim 2008. ISBN 3527408401. S. 181.
2. ↑ Ebda.
3. ↑ Über eine Aufgabe der Wahrscheinlichkeitsrechnung betreffend die Irrfahrt im Straßennetz Math. Ann., 84:149-160, 1921.

Weblinks

• Problemstellung in einem Leserbrief von Karl Pearson in Nature 72, 294; 318; 342 (1905)