Zwangsbedingungen

Als Zwangsbedingung wird in der klassischen Mechanik eine Einschränkung der Bewegungsfreiheit eines Massenpunktes bezeichnet. Dadurch nimmt die Anzahl der Freiheitsgrade eines Systemes ab. Werden zu viele Zwangsbedingungen gestellt, kann es passieren, dass keine physikalische Lösung existiert.

Die Lagrange'sche und die Hamilton'sche Formulierung der klassischen Mechanik sind besonders dazu geeignet, Systeme mit Zwangsbedingungen zu beschreiben.

Unterscheidung bzgl. Integrabilität

Im Folgenden wird stets ein N-Teilchensystem in 3 Raumdimensionen betrachtet. Ohne Zwangsbedingungen bräuchte man für jedes Teilchen 3 Raumkoordinaten, somit um das gesamte System zu beschreiben insgesamt 3N. Die Koordinaten werden fortlaufend durchnummeriert:

$\vec{r}_{1}=(x_{1},x_{2},x_{3}),\ \vec{r}_{2}=(x_{4},x_{5},x_{6}),\ \ldots,\ \vec{r}_{N}=(x_{3N-2},x_{3N-1},x_{3N})$

Holonome Zwangsbedingungen

Holonome Zwangsbedingungen können als Gleichungen zwischen den Koordinaten x_i des Systems formuliert werden (s holonome Zwangsbedingungen):

$\, f_{l}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{3N},t)=0\ ,\quad l=1,\ldots,s$

Die 3N Koordinaten lassen sich mit s holonomen Zwangsbedingungen auf n = 3N − s unabhängige generalisierte Koordinaten q_i, die automatisch die Zwangsbedingungen erfüllen müssen, reduzieren:

$x_i=x_i(q_1, q_2, \ldots, q_n, t)\ ,\quad i=1,\ldots,3N,\ n=3N-s$

Holonome Zwangsbedingungen sind als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar

$0=\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{1}}\mathrm{d}x_{1}+\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{2}}\mathrm{d}x_{2}+\ldots+\frac{\partial f_{l}}{\partial x_{n}}\mathrm{d}x_{n}+\frac{\partial f_{l}}{\partial t}\mathrm{d}t=a_{l1}\mathrm{d}x_{1}+a_{l2}\mathrm{d}x_{2}+\ldots+a_{ln}\mathrm{d}x_{ln}+a_{lt}\mathrm{d}t$

und sind somit integrabel. Notwendig für die Integrabilität ist, dass die Koeffizientenfunktionen a_li folgende Bedingung erfüllen,

$\frac{\partial a_{li}}{\partial x_{k}}=\frac{\partial a_{lk}}{\partial x_{i}}\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{k}\partial x_{i}}=\frac{\partial^{2}f_{l}}{\partial x_{i}\partial x_{k}}\quad\quad i,k\in\{1,\ldots,3N\}$

was bei holonomen Bedingungen automatisch gegeben sein muss (f_l zweimal stetig differenzierbar, siehe Satz von Schwarz).

Anholonome Zwangsbedingungen

Nichtholonome/Anholonome Zwangsbedingungen können nicht als Gleichungen zwischen den Koordinaten formuliert werden. Die generalisierten Koordinaten, die in den anholonomen Zwangsbedingungen erscheinen, sind i. A. nicht unabhängig voneinander variierbar.

Es handelt sich z.B. um Ungleichungen, wie Beschränkungen auf einen bestimmten Raumbereich

$\,f(q_1, q_2, \ldots, q_n, t) > 0$

oder um differentielle, nicht-integrable Zwangsbedingungen, wie Gleichungen zwischen den Geschwindigkeiten (Bsp. für r anholonome Zwangsbedingungen)

$\,\sum_{i}a_{li}\mathrm{d}q_{i} + a_{lt}\mathrm{d}t = 0\ ,\quad l=1,\ldots ,r$

Nicht-integrabel heißt, dass die Gleichung nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellbar ist wie bei holonomen Zwangsbedingungen. Somit erfüllen die Koeffizientenfunktionen hier nicht die Integrabilitätsbedingung:

$\frac{\partial a_{li}}{\partial q_k}\neq\frac{\partial a_{lk}} {\partial q_i}\quad\quad i,k\in\{1,\ldots,n\}$

Unterscheidung bzgl. Zeitabhängigkeit

Weiterhin werden Zwangsbedingungen bzgl. ihrer Zeitabhängigkeit unterschieden als:

• Skleronom (starr), wenn sie nicht explizit von der Zeit abhängen.
• Rheonom (fließend), wenn sie explizit von der Zeit abhängen.

Beispiele

Die Länge des Fadens bleibt konstant, das Pendel wird auf eine Kreisbahn gezwungen

Das Pendel

Das Seil eines Pendels soll stets die gleiche Länge l besitzen, muss also aufgrund des Satzes von Pythagoras die Zwangsbedingung x² + y² = l² erfüllen. Das ist ein Beispiel für eine holonome Zwangsbedingung und, da sie nicht explizit von der Zeit abhängt, für eine skleronome Zwangsbedingung.

Teilchen in Kugel

Es sei ein Teilchen in einer Kugel eingesperrt. Das bedeutet mathematisch, dass die Entfernung des Teilchens zum Mittelpunkt stets kleiner als der Radius R der Kugel sein muss, also gilt x² + y² + z² < R². Da dies eine Ungleichung ist, ist die Zwangsbedingung nichtholonom.

Literatur

• H. Goldstein: Klassische Mechanik. Wiley-VCH. ISBN 978-3527405893