Bernoulli-Ungleichung

In der Mathematik versteht man unter der bernoullischen Ungleichung eine einfache, aber wichtige Ungleichung, mit der sich eine Potenzfunktion nach unten abschätzen lässt.

Für jede reelle Zahl x ${\!}^\geq$ − 1 ^[1] und jede nicht negative ganze Zahl n ${\!}^\geq$ 0 gilt

$(1+x)^n \geq 1+nx$. ^[2]

Benannt ist die Ungleichung nach dem schweizerischen Mathematiker Jakob Bernoulli.^[3]

Beweis

Die bernoullische Ungleichung lässt sich mit vollständiger Induktion beweisen.^[4] Der Induktionsanfang n = 0 ist erfüllt:

$(1+x)^0 = 1 \geq 1$. ^[2]

Als Induktionsvoraussetzung gelte nun $(1+x)^n \geq 1+nx$ für $n \in \mathbb{N}_0$, $x \in \mathbb{R}$ und $x \geq -1$. Dann folgt wegen $1+x\ge 0$ und der Induktionsvoraussetzung

$\begin{array}{lll} (1+x)^{n+1}&=&(1+x)^n \cdot (1+x)\\ &\geq&(1+nx)\cdot(1+x)\\ &=&1 + x + nx + nx^2\\ &\geq&1 + x + nx\\ &=&1 + (n+1)x.\\\end{array}$

Nach dem Induktionsprinzip gilt die Behauptung für alle $n \in \mathbb{N}_0$.

Beispiel

Behauptung:

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1$

für alle reellen $a\geq 1$.

Beweis: Zunächst sei $x_n\geq 0$ definiert durch

$\sqrt[n]{a} = 1 + x_n$.

Dann gilt nach der Bernoulli-Ungleichung

$a = (1 + x_n)^n \geq 1 + nx_n$,

also

$\frac{a - 1}{n} \geq x_n \geq 0$.

Es ist aber

$\lim_{n \to \infty}\frac{a - 1}{n} = 0$.

Damit ist dann auch

$\lim_{n\to\infty}x_n = 0$

und letztlich

$\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{a} = 1 + \lim_{n\to\infty}x_n = 1 + 0 = 1.$

Verwandte Ungleichungen

Strikte Ungleichung

Ebenfalls als bernoullische Ungleichung wird folgende Ungleichung bezeichnet, die ein „strikt größer“ statt eines „größer gleich“ verwendet:

Für alle reellen Zahlen x > − 1, x ${\!}^\neq$ 0 und alle natürlichen Zahlen n ${\!}^\geq$ 2 gilt

(1 + x)ⁿ > 1 + nx.

Der Beweis lässt sich ebenfalls mit Induktion nach dem gleichen Muster wie der Beweis für die Formulierung mit „größer gleich“ durchführen.^[3]

Reelle Exponenten

Für reelle Exponenten lassen sich folgende Verallgemeinerungen durch Vergleich der Ableitungen zeigen: Für alle x > − 1 gilt

$(1+x)^r\geq 1+rx$,

wenn $r \geq 1$, und

$(1+x)^r\leq 1+rx$,

wenn $0 \leq r \leq 1$.

Variable Faktoren

Betrachtet man keine Potenz, sondern ein Produkt unterschiedlicher Faktoren, so lässt sich folgende Verallgemeinerung mittels vollständiger Induktion zeigen:

$\prod_{i=1}^n(1+x_i)> 1+\sum_{i=1}^n x_i$

falls $-1<x_i<0\;$ für alle $x_i\;$ oder falls $x_i>0\;$ für alle $x_i\;$ und n ${\!}^\geq$ 2.^[3]

Setzt man dabei $u_i:=-x_i\;$ und betrachtet den Spezialfall $-1\leq x_i\leq 0$, also $0\leq u_i\leq 1$, so erhält man die sogenannte Weierstraß-Produkt-Ungleichung ^[5],[6],[7]

$\prod_{i=1}^n (1-u_i)\geq 1-\sum_{i=1}^n u_i.$

Anwendungen

Exponentialfunktion

Trotz oder gerade wegen ihrer Einfachheit ist die bernoullische Ungleichung bei vielen Abschätzungen hilfreich. Fixiere ein festes $x \in \mathbb{R}$. Dann ist $\frac{x}{n} \geq -1$ für alle $n \geq n_0(x)$. Mit der bernoullischen Ungleichung gilt daher

$\left(1+\frac{x}{n}\right)^n \geq 1 + n\cdot \frac{x}{n} = 1 + x$ für alle $n \geq n_0(x)$.

Wegen

$e^x=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n$

ist somit die Ungleichung

$1+x\le e^x$ für alle $x \in \mathbb{R}$

bewiesen.

Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel

→ Hauptartikel: Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel - Beweis aus Bernoulli-Ungleichung

Unter Verwendung einer Abschätzung mit der bernoullischen Ungleichung lässt sich die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel induktiv beweisen.

Quellen und Bemerkungen

1. ↑ In der Tat gilt die Ungleichung sogar für x ${\!}^\geq$ − 2 und ungerade n ${\!}^\geq$ 3, allerdings lässt sich dies nicht mehr mit vollständiger Induktion, sondern nur durch Vergleich der Ableitungen zeigen. Dazu zeigt man, dass f(x): = (1 + x)ⁿ − (1 + nx) für − 2 < x < − 1 negative Ableitung und damit keine Extrema hat, während der Wert für x = − 2 und x = − 1 positiv ist. In diesem Fall hat f ein lokales Maximum in x = − 2.
2. ↑ ^{a b} Für den Fall x = − 1 und n = 0 muss 0⁰ = 1 vereinbart werden.
3. ↑ ^{a b c} Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 1., B. G. Teubner Stuttgart, 1984, ISBN 3-519-22221-3, S. 61, Kapitel 7.9 und S. 68, Aufgabe 7.17
4. ↑ http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/erlaeuterung/erlaeuterung39/
5. ↑ http://planetmath.org/encyclopedia/WeierstrassProductInequality.html
6. ↑ http://mathworld.wolfram.com/WeierstrassProductInequality.html
7. ↑ http://www.cut-the-knot.org/Generalization/wineq.shtml