Besselsche Interpolationsformel

Die Besselsche Interpolationsformel gehört zu den Interpolationsformeln mit äquidistanten Stützstellen. Mit ihrer Hilfe lassen sich Funktionen als Polynome n-ten Grades darstellen. n bestimmt sich aus den n + 1 Stützstellen. Sie wurde nach Friedrich Wilhelm Bessel, ihrem Urheber, benannt.

Differenzentabelle

Zuerst erstellt man eine sog. Differenzentabelle, in der die Interpolationspunkte x_i in gleichen Abständen aufeinander folgen. Dieser Abstand h berechnet sich h = x_{i + 1} − x_i. x₀ liegt in der Mitte der Stützpunkte. Die Differenzen berechnen sich nun wie folgt: Δf_i = f_{1 + i} − f_i; alle weiteren analog dazu Δ^kf_i = Δ^{k − 1}f_{i + 1} − Δ^{k − 1}f_i.

Die Formel

Die Berechnung des Polynoms φ erfolgt dann mit der Formel $\varphi=f_0+u\Delta f_0+\frac{u(u-1)}{2}\cdot\frac{\Delta^2f_{-1}+\Delta^2f_0}{2}+\frac{u(u-1)(u-0,5)}{3!}\cdot\Delta^3f_{-1}$$+\frac{u(u^2-1)(u-2)}{4!}\cdot\frac{\Delta^4f_{-2}+\Delta^4f_{-1}}{2}+...+$ $+...+\frac{(u-0,5)u(u^2-1)...(u^2-(n-1)^2)(u-n)}{(2n+1)!}\cdot\Delta^{2n+1}f_{-1}$ mit $u=\frac{x-x_0}{h}$.