Besselsche Ungleichung

Die besselsche Ungleichung (nach Friedrich Wilhelm Bessel) beschreibt in der Funktionalanalysis den Sachverhalt, dass ein Vektor x eines Hilbertraums mindestens so "lang" ist, wie eine (beliebige) seiner Projektionen auf Unterräume.

Aussage

Ist also H ein Hilbertraum und $S \subset H$ ein Orthonormalsystem, so gilt für alle $x\in H$ die Ungleichung

$\sum_{e \in S} \vert \langle x, e\rangle \vert^2 \leq \Vert x \Vert^2$

wobei $\langle \cdot,\cdot \rangle$ das Skalarprodukt auf dem Hilbertraum darstellt.

Gilt in der besselschen Ungleichung das Gleichheitszeichen, so heißt sie parsevalsche Gleichung und stellt eine Verallgemeinerung des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume dar.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.