Beweis des Satzes des Pythagoras nach Garfield

Neben den „klassischen“ Beweisen des Satzes des Pythagoras, wie Geometrischer Beweis durch Ergänzung, Scherungsbeweis oder Beweis mit Ähnlichkeiten wurde von James A. Garfield um das Jahr 1875 ein Beweis entwickelt und bei der Zeitschrift New England Journal of Education eingereicht und sogar veröffentlicht. James A. Garfield wurde 1881 Präsident der Vereinigten Staaten von Amerika.

Beweis von James A. Garfield

Beweisskizze

Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck ΔABC (siehe Grafik).

Durch Verschiebung ΔABC entlang $\overline {BA}$ und Drehung um A mit einem Winkel von 90° erhält man Dreieck $\Delta A\!\,''B\!\,''C\!\,''$. Die beiden Dreiecke sind kongruent:

$\Delta ABC \cong \Delta A\!\,''B\!\,''C\!\,''.$

Aus den Kongruenzsätzen folgt:

$a=a^{\prime\prime},\; b=b^{\prime\prime},\; c=c^{\prime\prime}.$

Nach dem Innenwinkelsummensatz im Dreieck gilt:

$\alpha +\beta +\gamma =180^\circ$.

Daraus folgt mit $\gamma = 90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ.$

Da ferner der Winkel $\angle CAC^{\prime\prime}$ gestreckt ist (180°) und $\alpha +\beta = 90^\circ$ ist, folgt

$\angle A^{\prime\prime}B^{\prime\prime}B=90^\circ.$

Somit sind alle drei Dreiecke rechtwinklige Dreiecke. Ihr Flächeninhalt berechnet sich also aus der Hälfte des Produktes der Kathetenlängen ($A_{\text{rechtwinkliges } \Delta} = \tfrac 12 \cdot a\cdot b$).

Durch die Einzeichnung der Strecke $\overline {BA^{\prime\prime}}$ erhält man als geometrische Figur ein Trapez. Dessen Flächeninhalt berechnet sich nach der Formel $A_{\mathrm{Trapez}} = \tfrac 12 (a+b^{\prime\prime})\cdot h.$

Aus der Flächengleichheit folgt, dass der Flächeninhalt des Trapezes gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Dreiecke entspricht:

$\begin{matrix} A_{\text{Trapez}} & = & A_{\text{rotes } \Delta} + A_{\text{blaues } \Delta} + A_{\mathrm{gr\ddot unes}\; \Delta} & {} & {} \\ \frac 12 (a + b)(a + b) & = & \frac 12 ab + \frac 12 ab + \frac 12 cc & | & \mbox{binomische Formel} \\ \frac 12 (a^2 + 2ab + b^2) & = & ab + \frac 12 c^2 & | & \cdot\, 2 \\ a^2 + 2ab + b^2 & = & 2ab + c^2 & | & -2ab\\ a^2 + b^2 & = & c^2 & {} & {} \end{matrix}$

Quellen

• J. A. Garfield, Pons Asinorum. New England J. Educ. 3, S. 161, 1876.
• http://mathworld.wolfram.com/PythagoreanTheorem.html Formeln 19−24.