Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl

Der Beweis der Irrationalität der eulerschen Zahl e ist mit elementaren Mitteln der Analysis als Widerspruchsbeweis durchführbar. Er wurde zuerst 1737 von Leonhard Euler in der hier angegebenen Weise geführt.

Der Beweis, dass e sogar transzendent ist, ist komplizierter und wurde zuerst 1873 von Charles Hermite geführt.

Beweis

Annahme

Wir starten mit der von Leonhard Euler stammenden Darstellung der eulerschen Zahl e als Reihe

$e = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n!}}$.

Wie sich leicht zeigen lässt, gilt $2<e<3\!$.

Wir nehmen nun an, die reelle eulersche Zahl e sei rational. Dann ließe sie sich als vollständig gekürzter Bruch $e = \tfrac{p}{q}$ mit $p, q \in \mathbb{N}$ darstellen. Da $2<e<3\!$, ist e keine ganze Zahl, und somit ist q > 1. Wir multiplizieren die Reihenentwicklung mit q!, womit wir diese neue Reihe erhalten:

$\begin{matrix} \underbrace{q! \cdot e} &=& \\ \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{q! + \frac{q!}{1!} + \frac{q!}{2!} + \frac{q!}{3!} + \cdots + \frac{q!}{q!}} &+& \\ N \in \mathbb{N} \end{matrix} \begin{matrix} \underbrace{\frac{q!}{(q+1)!} + \frac{q!}{(q+2)!} + \cdots} \quad &(*)& \\ 0 < M < 1 \end{matrix}$

Linke Seite

Es ist $q! \cdot e = q! \cdot \tfrac{p}{q} = (q-1)! \cdot p \in \mathbb{N}$, da nach Voraussetzung $p, q \in \mathbb{N}$.

Rechte Seite, erste Teilsumme

Die Glieder q! bis $\tfrac{q!}{q!} = 1$ auf der rechten Seite der Gleichung ( * ) sind ebenfalls alle natürlich, da alle Nenner 1! bis q! Teiler des Zählers q! sind. Die Summe dieser natürlichen Zahlen ist wieder eine natürliche Zahl.

Rechte Seite, zweite Teilsumme

Die Summe aller Glieder, vom Glied $\tfrac{q!}{(q+1)!}$ ist größer 0, da alle Zähler und Nenner von null verschieden und positiv sind, und zudem kleiner 1, wie folgende Überlegung zeigt:

Das erste Glied ist $\tfrac{q!}{(q+1)!} = \tfrac{1}{q+1} \le \tfrac{1}{3}$, da q > 1, das zweite Glied ist $\tfrac{q!}{(q+2)!} = \tfrac{1}{(q+1)(q+2)} \le \tfrac{1}{9}$, das dritte Glied ist $\le \tfrac{1}{27}$, etc.

Die Summe dieser oberen Schranken ist eine unendliche, so genannte geometrische Reihe und konvergiert:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \cdots \ = \ \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{3^i} \ = \ \frac{1}{3} \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{3^i} \ = \ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} \ = \ \frac{1}{2}$.

Für die zweite Teilsumme M gilt also 0 < M < 1, daher ist M keine natürliche Zahl.

Widerspruch

Der Ausdruck ( * ) führt zu dem gewünschten Widerspruch, da die rechte Seite, N + M, anders als die linke Seite, $q! \cdot e$, keine natürliche Zahl ist.

Schluss

Damit ist die Voraussetzung widerlegt, und es gilt $e \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, d. h., e ist irrational.